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重要 例
260 面積の最大 最小 (3)
直線で囲まれた2つの部分の面積の和Sが最小になるような形の値を
|曲線y=x2-x|と直線 y=mx が異なる3つの共有点をもつとき,この曲線と
00000
[類 山形大 ]
基本 246 24
y
指針 曲線y=x2-x| は, 曲線 y=xx のy < 0 の部分をx
軸に関して対称に折り返したもので、図のようになる。
よって, 曲線 y= | x-x|と直線y=mx が異なる3つの
共有点をもつための条件は、 直線 y=mx が原点を通る
ことから 0<< (原点における接線の傾き) である。
ここで, 曲線と直線の原点以外の共有点のx座標をα, b
とする。
また、図のように面積 St, S2 を定めると, 面積Sは
S=S+S2
と表される。
Si は, 放物線と直線で囲まれた部分の面積であるから,
S(xa)(x-3)dx=-1/2 (B-α) 2 ①の公式が利用できる。
9/16
S2は, S(mx(x+x)dx+f(mx-(x-x)}dx を計算しても求められるが、下の
図の赤または黒で塗った部分の面積の和差として考えると,①が利用できるので、
計算がらくになる。
y
y
+
y
y
曲線y=|x2-x| は, 図のようになる。
解答 y=-x2+xについて _y'=-2x+1_
よって, 原点における接線の傾きは 1
ゆえに, 曲線と直線が異なる3つの共
有点をもつための条件は 0<m< 1
異なる3つの共有点のx座標は,方程
式|x2-x|=mxの解である。
YA
y=|x2-x|
m=1.
-20+1=1
y=mx
1m=0x
mを動かしてか
ら判断する。
xx0 すなわち x≦0, 1≦xのとき
x-x=mxから
絶対値 場合に分ける
面積
x{x-(1+m)}=0
よって x=0, 1+m
xx < 0 すなわち 0<x<1のとき
-x2+x=mxから
0<x<1から
x{x-(1-m)}=0
x=1-m
したがって, 異なる3つの共有点のx座標は
x=0, 1-m, 1+m
01であるか
ら 1≦1+m
(1≦x を満たす)
0<m<1から
0<1-m<1
(0<x<1 を満たす)
練習
③260
ゆ
0
S
