3章 図形と方程式
例題 85 円の方程式(2)
次の円の方程式を求めよ.
(1) 点 (1,2)を通り, x軸とy 軸の両方に接する円
****
(2)(1,2)を通り、x軸に接し、中心が直線 y=2x-1 上にある円
見方 中心の座標や半径を文字でおいて, 与えられた条件にあてはめる.
答
(1)半径をr (r>0) とおいて, 中心の座標をを用いて表す.
(2) 中心が直線 y=2x-1 上にあることから,中心のx座標をα とすると, y 座標は
2a-1 とおける.また, x軸に接するから, (円の半径) = | (中心のy座標) | である.
(1) 半径をr (r>0) とおく.
条件より、円の中心は第2象限にあり,両座標
軸に接するから,中心の座標は (-r, r) とおけ
YA
第2象限
(-ray)
接する
る.
この点と点 (1,2)の距離がであるから,
YA
接する
より、
{-r-(-1)}+(r-2)²=r
r2-6r+5=0
(r-1)(r-5)=0
r=1.5
r=1 のとき, 中心 (1,1)
=5のとき, 中心 (55)
よって,
(x+1)+(y-1)'=1
(x+5)'+(y-5)²=25
5
-10
x
(2)円の中心が直線 y=2x-1 上にあるから,円
の中心の座標は, (a,2a-1) とおける.
また,x軸に接するから、 求める円の方程式は、
(x-a)+{y-(2a-1)}=|2a-1|_ …………①
円 ① は点 (1,2)を通るから,
(1-a)+{2-(2a-1)}=|2a-1|2
整理すると, a²-10a +9=0
S
0
「第2象限の点(-1,2)
を通る」, 「x軸, y 軸と
接する」ことから, 半径
をとおくと,円の方程
式は,
(x+r)+(y-r)²=r
図のように,2つの円
が考えられる.
x 軸に接するから,
半径は |2a-1|
|2a-1|=(2a-1)2
(a-1)(a-9)=0
a=1, a=9
よって、 ①より
a=1のとき, (x-1)+(y-1)=1 939
a=9 のとき
(x−9)²+(y—17)²=289
