EX
③ 128
(1) 次の条件を満たす 3 次関数 f(x) を求めよ。
f'(1)=f'(-1)=1,f(1)=0,f(-1)=2
[国士舘大]
(2) f(x)=axn+1+bx"+1 (nは自然数)(x-1)で割り切れるように, 定数 α, 6の値を定め
よ。
(1) f(x)=ax+bx+cx+d (a≠0) とすると
f'(x) =3ax2+2bx+c
X3
←①② から 46 = 0
③ + ④ から
2(6+d)=2 など。
ゴ
ロー
←a=1は a≠0 を満たす。
f'(1) =1から
3a+26+c=1
①
f'(-1) =1から 3a-2b+c=1
②
f(1) = 0 から
a+b+c+d=0
3
f(-1) =2から
-a+b-c+d=2
4
①~④を解いて
a=1,6=0,c=-2, d=1
したがって
f(x)=x-2x+1
(2) f(x)=axn+1+bx"+1 から
f(x) (x-1)2で割り切れるための条件は
f(1)=0 かつ f'(1)=0
a+b+1=0
(n+1)a+nb=0
f(1)=0から
f'(1) = 0 から
② ① xnから
a=n
......
......
①
②
①に代入して
b=-n-1
f'(x)=(n+1)ax+nbxn-1
a
121
←多項式 f(x) が
(x-α) で割り切れる
⇔f(a)=f(a)=0
