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基本例題 30 絶対値と不等式
次の不等式を証明せよ。
(1) |a+b|≦|a|+|6| (2) |a|-|6|≦|a+bl
指針 (1) 前ページの例題29と同様に(差の式)≧0 は示しにくい｡
|A=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
A≧0, B≧0のとき
の方針で進める。また,絶対値の性質(次ページの①~⑦) を利用して証明しても
よい｡
(2)(31)と似た形である。 そこで, (1) の結果を利用することを考えるとよい。
CHART 似た問題 1 結果を利用
[2] 方法をまねる
la+b≧(lal+|6|)²
(3) la+b+cl≦la|+|6|+|el
●基本 29 重要 31
A≧B⇔A'≧B'⇔A'-B'≧0
(1) (lal+ b)²-la+b|²=a²+2|a||b|+6²-(a²+2ab+6²) |◄|A³=A²
解答
=2(labl-ab)≧0
|ab|=|a||6|
......
よって
00000
よって
la+b≧0, lal +6 ≧0 から
la+6|≦|a|+|6|
この確認を忘れずに。
別解] 一般に,|a|≦a≦|a|-|6|≦b≦|6| が成り立つ。 | A≧A, |A|≧-A
この不等式の辺々を加えて
から-|A|A|A|
-(|a|+|6|)≦a+b≦la|+|6|
したがって
la+b|≦|a|+|6|
(2) (1) の不等式でαの代わりにα+6, 6 の代わりに - b
とおくと
|(a+b)+(−b)| ≤|a+b|+|−b|
よって |a|≦la+6|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la+6|
[別解 [1] [a|-|6|<0のとき
a+b≧0であるから,|a|-|6|<la+6|は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0のとき
|a+b-(|a|-|6|)²=a²+2ab+b²-(α²-2|a||6|+62)
=2(ab+lab)≧0
よって
(|a|-|6|)≦|a+b²
|a|-|6|≧0,|a+b≧0であるから |a|-|6|≦la+b1
[1], [2] から
|a|-|6|≦|a+b|
(3) (1) の不等式での代わりにb+c とおくと
la+b+c)[≦la|+|b+cl
la+b+cl≦|a|+|6|+|c|
≦|a|+|6|+|c|
-B≤A≤B
⇔|A|SB
ズーム UP 参照。
<|a|-|6|<0≦la+bl
[2] の場合は, (2) の左
辺, 右辺は0以上であ
るから,
右辺20
を示す方
