（2）がわからないです 指針の置き換えを使うところまではわかりましたが、解答の与式からがなぜこうなるのかわかりません。

7 重要 例題 掛ける順序や組み合わせを工夫して展開 調 次の式を計算せよ。 (1)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)) (S) (2) (+) (2) (a+b+c)2+(b+c-a)+(c+a-b)'+(a+b-c)2x) (S-x)(+ (3) (a+2b+1)(a²-2ab+462-a-2b+1) <基本 7,8 前ページの例題同様, ポイントは掛ける順序や組み合わせを工夫すること。 (1) 多くの式の積は,掛ける組み合わせに注意。 ( 4つの1次式の定数項に注目する。 (-1)+(-4)=(-2)+(-3)=-5であるから (x-1)(x-4)×(x-2)(x-3)=(x2-5x+4)(x²-5x+6) ← 共通の式x25xが 出る。 (2)おき換えを利用して,計算をらくにする。 b+c=X, b-c=Yとおくと (与式)=(x+α)2+(X-α)+(a-Y)2+(a+1)2 (3)( )内の式を1つの文字αについて整理してみる。 CHART 多くの式の積掛ける順序・組み合わせの工夫 i (1) (与式)={(x-1)(x-4)}×{(x-2)(x-3)}= 4000)() ={(x2-5x)+4}×{(x2-5x)+6}8-14= 解答 (2) =(x2-5x)'+10(x2-5x)+24 psx25x=A とおくと =x-10x3+25x2+10x2-50x+24 (A+4)(A+6) =A2+10A+24 ===x10x+35x50x+24)}{ (2) (5x)={(b+c)+a}²+{(b+c)−a}² (pqA)-(pb+) くると、同じも (pat)-+{a_(b-c)}+{a+(b-c)}' par +°p°48= とおくと (3) 2+3=2{(b+c)²+a²}+2{a²+(b−c)²}+*p*48- =4a2+2{(b+c)'+(b-c)} 1+x-(x+y)²+(x−y)² - =4a2+2・2(62+c2) +dn-1) (d+ =4a²+462+4c2 =2(x2+y2) となるこ (3) (与式)= {a+(26+1)}{a²-(26+1)a+(462-26+1)}(a+●) __ =α+{(26+1)-(26+1)}a2 +{(462-26+1)-(26+1)^}a (a²-▲a+■ とみて展開。 (°) (+) 利用。 +(26+1)(45°-26+1) =α-6ba+(2b)+13 =α°+86-6ab+1 ◄(p+q)(p²−pq+q²)= 注意 問題文で与えら (与式)と書くこと

この問題の別解の解き方なんですが n🟰17のとき2分の1n(n－1)は272になると思うんですけどこれがn－1軍め の最後の番目ということですよね？そしたら273番目がｎ軍目の1番最初になり そこから302番ー273番をしても15にならないと思うんですがどこの考え方が間違っ... Read More

奇こ (2) 差 (3) 452 基本 例 29 群数列の基本 n個の数を含むように分けるとき (1) 第n群の最初の奇数を求めよ。 (3)301は第何群の何番目に並ぶ数か。 奇数の数列を1/3,5/7, 9, 11/13, 15, 17, 19|21, このように、第 00000 (2)第n群の総和を求めよ。 [類 昭和大 p.439 基本事項 もとの数列 群数列では、次のように目 指針 数列を ある規則によっていくつかの 組 (群) に分けて考えるとき,これを群 数列という。 区切り れる [規則 る 区切りをとると もとの数列の 目すること群の最初の数が 群数列 がみえてくる 数列でいくと 目が ① もと ↓ ② 第 数列の式に代 見則 の個数は次のようになる。 上の例題は 群第1第2 第3群・・・・・・・・ 1 | 3,57,9,11| 第 (n-1) 群 第n群 初項 (n-1) 18 n個 公差2の 個数 1個 2個 3個 等差数列 11n(n-1)個 11n(n-1)+1番目の奇数 (1) 第k群の個数に注目する。 第k群にk 個の数を含むから,第 (n-1) 群の末頃ま でに{1+2+3++(n-1)} 個の奇数が 第1群 (1) 1個 3 77 ある。 よって、第n群の最初の項は, 奇数の数列 1, 3, 5, の 第2群 第3群 第4群 13, 15, 17, 19 第5群 21, 59 2個 9, 11 3個 4個 {1+2+3+......+(n-1)+1)番目の項で ある。 {(1+2+3+4)+1} 番目 検討 右のように、初めのいくつかの群で実験をしてみるのも有効である。 (2)第n群を1つの数列として考えると、求める総和は, 初項が (1) で求めた奇数 差が 2 項数nの等差数列の和となる。 (3) 第n群の最初の項をan とし,まず an≦301<ant となるnを見つける。 nに具 体的な数を代入して目安をつけるとよい。 CHART 群数列 数列の規則性を見つけ、区切りを入れる ② 第群の初項・ 項数に注目 (1) n≧2 のとき,第1群から第 (n-1) 群までにある奇数 第 (n-1) 群を考えるか 解答 の個数は 1+2+3+(n-1)=1/12 (n-1)n ら,n≧2という条件が つく。 よって,第n群の最初の奇数は (n-1)n+1番目の+1」 を忘れるな!!

数1の放物線の問題です。⑶のやり方を分かりやすく教えていただきたいです！

3 放物線y=x2+ax+b......① (a,bは定数)は,点(-3, 4)を通る。 CHA (1) bをαを用いて表せ。 基本 標準 (2) 放物線 ①がx軸と異なる2点A, Bで交わるようなαの値の範囲を求めよ。 大 CA (3) 応用 また,AB=2となるようなαの値を求めよ。 -2<x<0において, 放物線 ①がx軸と1点のみを共有するようなαの条件を求めよ。

bxとaxは同類項だから〜の後に何故この式になるのかが分かりません。 どうしてこのような式になるのか教えて欲しいです🙏

のように 1項ずつ計算するのは大変だから、よく出てくる形には展開公式が あるんだ。 今回は特に重要な3つの公式を学んでいこう! 最初は、(x+a)(x+b)だね。 (x+a)(x+b)を展開すると、xとxをかけてx2xと6をかけて bxaとxをかけてaxaとbをかけてab bx と αxは同類項だから、 (x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab

1番最後の[1][2]から、というところですが、 なぜ(-1)ⁿではなく(-1)ⁿ＋¹なんですか💦

例題 28 重要 に分けて和を求める 00000 一般項がαn=(-1)"+1n2 で与えられる数列{an} に対して,Sn=ak とする。 (1) a2k-1+a2k (k=1, 2, 3, ......) を ん を用いて表せ。 (2) Sn= (n= 1, 2, 3, ......) と表される。 k=1 次のように頭を2つずつ区切ってみると Sn=(12-2)+(32-4)+(52-62)+...... =b₁ =b₂ 指針 (2) 数列{an}の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。」 =b3 ****** 上のように数列{6} を定めると, bk=a2k-1+αk (kは自然数) である。 よってm を自然数とすると [1] n が偶数, すなわち n=2mのときはS2m2=(-1)として求め られる。 k=1 k=1 1 [2]nが奇数、すなわちn=2m-1のときは,Sam = Sim-1+α2m より S2m12m-a2mであるから, [1] の結果を利用して Szm-1 が求められる。 このように, nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。 (1) 2-1+a2x=(-1)2k(2k-1)^+(-1)2k+1(2k)2 =(2k-1)-(2k)=1-4k [1]=2mmは自然数)のとき m m S2m=(a2k-1+a2k)=(1-4k) =m-4. m= =1であるから Sn -m(m+1)=-2m²-m =-2(2)-=-n(n+1) [2]=2-1(mは自然数) のとき 2m+1. azm=(-1)2 '(2m)'=-4m² であるから S2m-1=S2m-a2m=-2m²-m+4m²=2m²-m n+1 m=- であるから 2 S,=2(n+1)_n+1=1/2(n+1){(n+1)-1} = n(n+1) [1],[2] から Sn=(-1)+1 2 -n(n+1) (*) (-1) =1, (-1)=-1 ={(2k-1)+2k} ×{(2k-1)-2k} S2m= (a1+a2) +(as+αs) +...... +(a2m-1+a2m) Sm=-2m²-mに 2=1/27 を代入して,n m= の式に直す。 <S2m=S2m-1+a2m を利用する。 S2m-1=2m²-mをnの 式に直す。 451 (*) [1], [2] のS” の式は 符号が異なるだけだから, (*)のようにまとめるこ とができる。 一般項がαn=(-1)n(n+2) で与えられる数列{an} に対して, 初項から第n項ま での和 S を求めよ。 1 章 ③種々の数列

この別解が何をしているのかよく分からないのですが 詳しく教えて頂きたいです🙇‍♀️ お願いします🙇‍♀️

443 基本1.19 重要 32 等比数列の和の nが項数を表して 表す 温要で、 基本例 21 第項に の飲別の和を求めよ。 を含む数列の和 ......, (n-1)3,n2 1.(n+1), 2.n, 3.(n-1), 方針は基本例 00000 基本1.20 重要 32 120同様、第α の式で表し, a を計算である。 お酒がの左図のの、有限の数をそれぞれ取り出した取りを 第n項がn 2 であるからといって、 第ん項をk-2としてはいけない。 この左側の数の数列 1.2.3-1.n の右側の数の数列 n+1,n, n-1,...... 3,2 第項は →初項n+1, 公差 -1の等差数列 第k項は (n+1)+(k-1)(-1) これらを掛けたものが, 与えられた数列の第k項 [←nとkの式] となる。 また、2chの計算では、たに無関係なnのみの式は2の前に出す。 k-1 この数列の第に項は k{(n+1)+(k-1)・(-1)}=-k+(n+2)k したがって、求める和をSとすると 項で一般項を考え くくり,{}の中 出てこないよう =1, 公比2項 比数列の和。 14 ③種々の数列 S= Σ {− k²+(n+2)k} = − k²+(n+2) k k=1 =-1/n(n+1)(2n+1)+(n+2) ・1/2m(n+1) <n+2はんに無関係 k=1 k=1 → 定数とみてΣの前に 出す。 =½½n(n+1){−(2n+1)+3(n+2)} 大き 出す 作為 = n(n+1)(n+5) 解求める和をSとすると s=1+(1+2)+(1+2+3+....+ (1+2+....+n) +(1+2+・ ·+n) =2(1+2++k)+1/21n(n+1) k=1 -1/2(k+1)+/1/n(n+1) {}の中に分数が出て こないようにする。 < 1+1+1+ ...... +1+1 2+2+ ...... +2+2 ......+3+3 + n+n はこれを縦の列ご とに加えたもの (で)と きる。 20 OK. EX12, 13 21 2k=1 n = 1 { ²±² k² + k + n (n+1)} k=1 k=1 =/12/11m(n+1) (2n+1)+/1/2n(n+1)+n(n+1)} =/12/11n(n+1){(2n+1)+3+6)=1/2n (n+1)(n+5) 次の数列の和を求めよ。 12.n, 22(n-1), 32(n-2), …, (n-1)-2, n².1 標本 寺値 され は, 10° n

解の存在範囲の問題です。手順1のD>0の時のaの範囲を求めるとき、単純に因数分解できなかったので解の公式を使って因数分解しようとしたらDの中身が負になってしまいました。解答の平方完成でDが常に正だと言うのはわかったのですが、解の公式で求めたaは何を表すのでしょうか。

基本 例題 128 2次方程式の解と数の大小 (1) ①①①① | 2次方程式 x2-2(a+1)x+3a=0が, -1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を もつような定数αの値の範囲を求めよ。 [類 東北大 ] 基本 126 127 重要 130 2次方程式 f(x)=0 の解と数の大小については,y=f(x)のグラフとx軸の共有点の 位置関係を考えることで,基本例題126 127 で学習した方法が使える。 すなわち, f(x)=x2-2(a+1)x+3a として 2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ ★ ⇔ 放物線y=f(x) がx軸の-1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わる したがって D>0, -1< (軸の位置)<3,f(-1)≧0,f (3)≧0 で解決。 CHART 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 この方程式の判別式をDとし, f (x)=x2-2(a+1)x+3a 3章 13 2次不等式 解答 とする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は 直線x=α+1である。 THAHO de 方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数指針」 解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の -1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わることである。 すなわち、次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。 [1] D > 0 [2] 軸が-1<x<3の範囲にある [3] f(-1)≧0 [4] (3) 吹 の方針。 2次方程式についての問 題を, 2次関数のグラフ におき換えて考える。 よって, D>0は常に成り立つ。 ゆえに [1] D={-(a+1)-1・3a=a-a+1=(a-1/2)+3 (*) (+)-(-1<()<3 [2] 軸x=α+1について −1<a+1<3 I+D)-SD(S)\ すなわち -2<a<2 [3] f(-1)≧0から ...... ①のと (−1)-2(a+1)(-1)+3a0 2つもつこと3 5a+30 すなわち a ≧ - 5 になり + Oa+1 3 21 x (一)(1+\2 この問題では, Dの符号, 軸の位置だけでなく,区 間の両端の値 f(-1), f (3) の符号についての 条件も必要となる。 YA [4] f(3) ≧0 からと32-2(a+1)・3+3a≧0 ゆえに3a+30 すなわち a≦1 ③ to) ① ② ③ の共通範囲を求めて -> -2 3 1 2 a 3 5 -≤a≤1 5 注意 [1]の(*)のように, αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。

xについての二次方程式までは式を整理できたのですが、その後に「この二次方程式が実数解を持つための条件は〜」の発想にいくのが、次にこの問題を解くときに思い浮かべられる自信がありません。どういった考え方をしたら次解くときに実数解を持つ条件を思い浮かべられるようになりますか。 そ... Read More

重要 例題 1222 変数関数の最大・最小 (4) 203 00000 実数x,yが x2+y2=2 を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を | 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 [類 南山大 ] 基本 101 条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x2+y2=2から文 字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうま くいかない。 そこで, 2x+y=t とおき,tのとりうる値の範囲を調べることで, 最大値と最小値を求める。 -> 2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入してyを消 去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。 実数解をもつ⇔D≧0 の利用。 見方をかつ える 3 3章 13 1 2次不等式 CHART 最大・最小=t とおいて、 実数解をもつ条件利用 2x+y=t とおくと y=t-2x ...... (1) 解答 これを x2+y2=2に代入すると x2+(t-2x)2=2 整理すると COPIQE このxについての2次方程式② が実数解をもつための 条件は、②の判別式をDとすると D≧0 5x2 -4tx+t2-2=0 (2) ここで 4 D=(-2t)2-5(t2-2)=-(t2-10) D≧0 から t2-10≤0 >> 参考 実数a, b, x, y に ついて,次の不等式が成り 立つ(コーシー・シュワル ツの不等式)。 (ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²) [等号成立は ay=bx] この不等式に a=2,b=1 を代入することで解くこと もできる。 028- これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき, D=0 で, ② は重解 x=-- -4t 2t = 2.5 5 を もつ。 =±√10 のとき x=± 2/10 5 のとき, ② は t=±√10 5x2+4√10x+8=0 よって (√5x=2√2) 20 またはBA ①から y=± √10 (複号同順) ゆえに 5 2√2 2/10 x=± 210 よって V 10 -=± √5 5 x= y= のとき最大値10 5 5 ①からy= 10 5 2/10 √10 x=- y=- のとき最小値√10 (複号同順) また 5 5 としてもよい。

解法1で、a2を調べなくても良いのはなぜでしょうか？

472 重要 40 =f(n)an-, 型の漸化式 00000 | a1=113 (n+1)a=(n-1)a- (n≧2) によって定められる数列 (a)の一般 を求めよ。 n -1 指針 与えられた漸化式を変形すると Anm an-1 n+1 an=f(n) (f(n-1)an-2) [類 東京学芸 これは p.471 基本例題 39 に似ているが, おき換えを使わずに,次の方針で解ける [方針1] an=f(n) an-1 と変形すると これを繰り返すと an=f(n)f(n-1)...... (2) a よって,f(n)f (n-1)......f (2) はnの式であるから, am が求められる。 [方針2] 漸化式をうまく変形してg(n)an=g(n-1) α-」 の形にできないかを考え る。この形に変形できれば g(n)an=g(n-1)an-1=g(n-2)an-z==g(1)a, であるから, an= g(1)ai g(n) として求められる。 解答 1. 漸化式を変形して 解答 n-1 n+1 an= an-1 (n≥2) n-1 n-2 ゆえに an= an-2 (n≥3) n+1 n これを繰り返して n1.n-2.n-3. an= n+1 2-1 n n-1 32 54 3 よって an= (n+1)n2 すなわち an= 1 ① n=1のとき n-l an= n+1-1 n-2 n+1 n a-t n-2 n+1 72 n-3 n(n+1) 1 1-1+1)=1/12/ a=1/2 であるから,①はn=1のときも成り立つ。 解答 2. 漸化式の両辺に n を掛けると よって したがって (n+1)nan=n(n-1)an-1 (n≧2) (n+1)nan=n(n-1)αn=......=2・1・α=1 1 an=n(n+1) <n+1とn-1の間にあ るnを掛ける。 数列{(n+1)na.} は す べての項が等しい。 これは n=1のときも成り立つ。 練習 a₁ = 0 求めよ。 (n+2)n=(n-1)an-1 (n≧2) によって定められる数列{a} の一般項を [ 類 弘前大]

なぜこの文章からナバホが子どもの自立を尊重し、ユダヤ人が子ども達を大人と同様に教育していることが分かるのか教えてほしいです。

自身の経験も異なってくる。 H. ( 1)、ナバホ・インディアンは子どもを自立したものと考え、部族の行事のすべ てに子どもたちを参加させる。子どもは、庇護されるべきものとも、重要な責任能力が ないものとも看做されない。子どもの言葉は大人の意見と同様に尊重され、交渉ごと で大人が子どもの代弁をすることもない。子どもが歩きだすようになっても、親が危険 なものを先回りして取り除くようなことはせず、子ども自身が失敗から学ぶことを期待 する。こうした子どもへの信頼は、われわれの目には過度の放任とも見えるが、自分と 他者の自立を尊重するナバホの文化を教えるのにもっとも有効な方法であるという。 (2)、東ヨーロッパの伝統的なユダヤ人コミュニティーでは、知識が豊かである ことは道徳的に正しいことであると考えられており、男児の(男児に限られていたが) 教育にたいへん関心が払われた。赤ん坊のちょっとしたしぐさも、知的早熟の兆しでは ないかと見られたし、五歳ごろにはもう正式の教育が始められた。幼児であっても、ほ 2 かの年齢の子どもに混じって週に五日間、午前八時から午後六時までの勉強が課せられ、 終生続けられるべき学問のための訓練が施された。