第2問~第4問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第3問 (選択問題)(配点20)
花子さんと太郎さんが (2+√3)” について考えている。 ただし, nは自然数とする。
(1) 花子:(2+√3)=2+√3, (2+√3) ²=7+4√3 となり,
(2+√3)=| アイ + ウエ v3 になるね。
太郎:この調子だと, (2+√3)" は, an, bn を自然数として, an+bn√3の形
で表されそうだね。 このことを証明したいな。
花子:これは,数学的帰納法を用いて証明できそうだね。 やってみよう。
[証明]
「(2+√3)=an+bn√3 (an, on は自然数) の形で表される。」 ・①とする。
[1] n=1のとき
(2+√3)=2+√3 より, a1=2, b=1 とすれば①は成り立つ。
よって, n=1のとき①は成り立つ。
[2] =kのとき, ① が成り立つと仮定する。
カ
(2+√3)=(2+√3) L (2+√3)
Jan+
キ
ak+
M
O k-1
キ
ク
カ
ak+
10k, 6回
よって, n=
サ
のときも ① は成り立つ。
[1],[2]から,すべての自然数nに対して ① が成り立つことが示された。
[証明終]
9
キ
bk, an+
コ
ク
ケ
1 k
ク
br+(ak+ 5bR)√√3
bk は自然数であるから,
1=an+
ケ
bkとすれば ① は成り立つ。
サ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
k+1
(数学Ⅱ 新学
k+2
ご結