数Ⅰの2次方程式です。 定数mまでは求められたのですが、 重解の求め方が分かりません。教えてください。

次の2次方程式が重解をもつとき、定数mの値を求めよ. また、そのときの重解を求めよ。 (1) xc2-x+m=0 1-4m=0 -4m=-1 m=1 (2) x2+mx+16=0 m²-64=0 m=±8

解答では「虚数解2個」と書かれていますが「異なる２つの虚数解」でも大丈夫ですか？

礎問 17 解の判別 (I) 次のxについての方程式の解を判別せよ.ただし, kは実数と する. @(¹) x² = 4x+k=0 精講 「解を判別せよ」とは, 「解の種類 (実数解か虚数解か) と解の個数 について考えて, 分類して答えよ｣ という意味です.ということは (1) (2) 2次方程式だから, 判別式を使えばよい!!」 と思いたくな るのですが、はたして･･････. 解 答 (1) ㎡-4x+k=0 の判別式をDとすると, 1/144-kだから, この方程式の解は次のように分類できる. (i) 4-k<0 すなわち, k>4のとき D<0 だから, 虚数解を2個もつ (ii) 4-k=0 すなわち, k = 4 のとき D = 0 だから, 重解をもつ (2) kx2-4x+k=0 ( 4-k>0 すなわち, k<4のとき D>0 だから, 異なる2つの実数解をもつ (i) ~ (Ⅲ)より, [k> 4 のとき, 虚数解2個 k=4 のとき, 重解 ん<4 のとき、 異なる2つの実数解 (2) (=0のとき 与えられた方程式は4x=0 :: x=0 (イ)=0のとき kx2-4x+k=0 の判別式をDとすると =4-k²2 だから,この方程式の解は D <D < 0 1211-18 (D=0 <D>O k=0のときは2次 方程式にならないの で, 判別式は使えな い

直線y＝−2k−2→y座標 放物線y＝xの二乗−（k +3）x +1→x座標 を読み取るという方法では不十分でしょうか。

** 19 p.132 3 2次方程式と2次不等式 169 放物線y=x2- (+3)x+1と直線y=-2k-2 が接するときの定数k の値と,そのときの接点の座標を求めよ。(笑) z (SƏRİ (S)

解説の解説をしていただきたいです､､笑 (私が書いた問題はまだ途中です) Kまで求められましたが、その後の重解の求め方がわかりません💦 解説は何かに代入しているようですが何にしているか理解できません。 お願いします🙇🙇

151 x,yがx2+y≧4 を満たすとき, 2x-y の最大値、最小値を求めよ。 (20点) 2x - y = 25. -4k² +80=0 -y=-2**k y=2x-k @radit 21 (2x-1)³²5 4 *74**²-4xF+K² ≤ 4 52=4₂+²=4 €0 372412 5:²4p(+$²4=0 この方程式の判別をDとすると D² 16 4²-4-5. (k²= 4) 2 =161²-20(F24) -4k+80 3- <Max = 2 #K²20 (C = ±ANG Mar (201510) K=ING Mini (~2√(5.0)

⑵の解説の下から二行目からわかんないです ベスアンします！

春 学 2.2 実数p, g を係数とする2次方程式x2+px+q=0･･･ ① がある. (1) 命題 「q > kならば, pの値を適当にとると方程式 ① は虚数解をもつ」 がなりた つようなkの最小値を求めよ (2) 命題 「g-p≤kであるような任意の p, g に対して, 方程式 ① は実数解をもつ」 が成り立つようなkの最大値を求めよ.

着眼点の(3)に3項間漸化式になることが予想されると書いているのですが、何故ですか？

入試演習 数列 添削問題 解答解説 1 問題 (1) x2 +px+q=0の2解をα, β とするとき. an, bn をそれぞれα, βで表せ。 りをax+bn(a,b は実数)とおくとき,次の各問いに答えよ。 p, g, n を正の整数とする。 rn (n = 1, 2, ...) をx2+px+q (p2-4q≠0)で割った (2) 2以上のすべての整数nについて b, はg で割り切れる整数であることを示せ。 着眼点 整式の割算 整数の問題で,数列に関するアプローチを用いて解くタイプである。 (1) xmをx2+px+q で割った余りがan²x+bnなので,Q(x) を整式として x² = (x² + px +q)Q(x) + Anx + b₂n とおける。この等式を用いて, an, bn, α, βの関係式を導けばよい。 解答 (2) {bn}の一般項の表示からは, bn が整数であることすらわからない。 そこで, 自然数nについ ての証明問題であることより, 数学的帰納法を用いる。このとき 仮定を用いて次のnの値で成り立つことを示す という数学的帰納法の構造より, {bn}の漸化式を導くとうまくいく。 漸化式は {bn}の一般項より3項間漸化式になることが予想できるから,まず an+1 - βn+1 を on - β", an-1-βn-1 で表す ことが目標となる。 (1) xn x2+px+q=(x-a)(x-β) で割った余りが anx + by なので,Q(x) を整式として x=(x-α)(x-β)Q(x) +an²+bn とおける。 上式にx=α, x = βを代入すると an=ana+bn βn=anβ+bn となる。 2-4g≠0よりx≠Bであるから, (a – B)an = an – n an - Bn an= α-β また①より bn=an-a. ... bn= == (2) an+1 - βn+1 は (n = 1, 2, ...) と変形できるから an-βn a-β aß(an-1-n-1) a-β - ② より (n=1,2,...) an+1 – Bn+1 = (a+B)(an – Bn) +aßn – an B YMESJI-Z1014 ONKO (a+β)(a^-β") - aβ(an-1-β"- 1 ) <x²+px+q=0 の2解は βなので x² + px+q =(x-a)(x-β) したか x²+px+q=0の判別式を D とすると D=p²-4q であるから D≠0 より aß と と an+1n+1 から di-pl くり出す。

（2）番についての質問です。 問題文の条件では次の方程式が異なる2つの実数解を持つような点（a,b）の時と書かれてますが 、 Q1異なる2つの実数を持つというのは log2（x^2+t）=tと置いた時、tが2つの存在する事であるのに、解答の青色波線部 t=0の時x=0よ... Read More

たえで10 練習 a,bは定数とする。 次の方程式が異なる2つの実数解をもつような点 (a, b) 全 187 体の集合を, 座標平面上に図示せよ。 (1) 4*+α・2x+1+b= 0 (2) {log₂ (x²+1)}² − a log₂ (x²+1)+a+b=0 [(1) 類 広島大] (p.294 EX121

解答（2）の下線部が何故そのようになるのかわからないです。

る. 当略) 6 放物線/接線・ 放物線y=xの2本の接線g, hが点 (a,b)で交わるとする. 接線 g, hが直交するための の条件を求めよ。 ((2) (a,b) が (1)で求めた条件をみたしながら動くとき, 2接線g, hの2つの接点を結ぶ直線 は常にある定点を通ることを示せ. (津田塾大・国際関係) この条件は, 放物線と直線の方程式を連立して得られる2次方程式が重解 ということとしてとらえることができる(判別式D=0). 放物線と直線が接する また、例えば,y=kxとy=mx+nがx=αで接する条件は, kx² - (mx+n)=k(x− a)² ≥tz.. ととらえることができる (左辺=0はx=αを重解にもち, 左辺のx²の係数がんであることから). 通常は微分法でとらえる.☆を使うこともできる。 により、 y=xのxαにおける接線の方程式は,y=kc²-k(x-α)により, y=2kaz-ko²となる. 放物線上のx=α における接線 重解m 解答量 (1) 点(a,b) を通る傾きmの直線y=m(x-a)+6がy=x と接する条件 ... x2-mx+(ma-b) = 0...... ₁ x²= m(x-a) + b が重解をもつことで, 判別式をDとすると, D=0 D=m²-4(ma-b)が0であるから,m²4am+4b=0 ·② の2次方程式②の実数解が,点(a,b) を通る接線の傾きを表すから,2接線 の直交条件は、②の2解の積46が-1であること. したがって、求める条件は,b=-- 4 m 2 ( α は任意) 12 m =0 となるから, 重解は -であり,これ 2 (2) ⑩が重解をもつとき, X- は接点の座標である. よって, ② の2解をα, βとすると,2つの接点は, a BB2 17 (1) である。この2点を通る直線の傾きは atB. 2' 4 2 4 2 a+B a 式は、y=- x- 2₁,- ² + ²(x-2) + a² = a + ß₁- aß 2 4 2 4 ②の解と係数の関係により, α+β=4a,αβ=4b=-1 よって③は、y=2a+1/2 であり,定点 (0.14) を通る。 4 注 (1) 直交する2接線の交点の軌跡が直線y= 4 ということ 直線の 一般に,実数係数の2次方程式 x2+cx+d=0の2解α, βが αβ <0 を満たすとき, 解と係数の "関係から d<0であり, 判別式 ← D = c24d>0となるので, 2解 は異なる実数であることが保証 される. a² B2 4 4 B 22 a = 06 演習題(解答は p.101) 放物線y=- y=-x2 上の原点以外の2点P, Q を接点とする接線の交点をRとする.さら に点P、Qの中点をMとする。 点P, Qのx座標をそれぞれp, g (p>g) とする. It ~ 軸に平行であることを示せ . I ←“焦点” と呼ばれる. ( 数Ⅲ) ← “準線” と呼ばれる. ( 数ⅢI ) a B 2 2 条件から4

（2）の問題ですが、⑴で出た答え以外。として、答えを出すのは不十分なのでしょうか。

.28 第2章 高次方程式 Think 例題64 3次方程式と実数解 αを実数の定数とする. 3次方程式x+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0 について 次の問いに答えよ. (1) 重解をもつように,定数aの値を定め、そのときの重解を求めよ、 (2) 異なる3つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ [考え方 まずは、次数の最も低いα について整理し、3 *) 0 xの1次式)×(xの2次式) P(x) はーー 252310 の形に因数分解する. (1) 2次方程式の解が, 1次方程式の解を含む」場合と,2次方程式が重解をい (2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式 場合の2通りが考えられる. x)/(E を含まない場合である. Pk8- 解答 (1) f(x)=x2+(a-1)x+(a−3)x-2a+3 と する. J+x81- a について整理すると,z+ f(x)=x2+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3 =(x²+x-2)a+x³-x²-3x +3 =(x-1){(x+2)a+x°-3} =(x-1)(x2+ax+2a-3) -3(x-1) より, f(x) は x-1 を因数に 1枚分解平は もつ. ご教の低い文字で//=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)^-1d0+(a-3)・1-2a+3 これを利用して因数分解して よい. 「組立除法 (+508 +S) 11 a-1a-3-2a+3 a 20-3 f(x)=0 とすると, x-1=0 または x2+ax+2a-3=0 したがって, f(x)=0が重解をもつのは, 次の2通りの場合である。 (i)x+ax+2a-3=0 が x=1 を解 にもつ (i)x+ax+2a-3=0が重解をもつ (i)のとき,x=1 が解であるから 1'+α・1+2a-3=0 より, a=- 2014 D=a²-4(2a-3)) p =a²-8a+12 =(a-2)(a-6) したがって £), a=2, 6 重解はx=-- 32 (Ⅱ) のとき、x2+ax+2a-3=0 の判別式を Dとすると、重解をもつので、D=0である。 77 (-2)(46)=0 a 2 より, 次数の低い文字で整理して a a=2のとき a=6のとき, 数分解する. f(1)=13+(a-1)・12 x=-1 x=-3 ²SC 1 IS-₂0 1=5 1&V+S=x1 1 a -dp4 x=1 が重解 残りの解は、 2 84-206 (x-1)x+ 5000+ - 0 を解いて 3 20-1 +8 √(x + 3) = 18-9085 よ より、メー り (S=4510082 0=0 10 (+S) 3010 max²+bx+c=0 ( a = 0) 4th b をもつとき、x=- 2a のの重解を求める。 a=2,a=6のそれぞ

数学II なぜ与式が一次式の積になる時、判別式Dが完全平方式になるのか教えてください。

102 第2章 高次方程式 Think 例題 47 2次式の因数分解 (1) 複素数の範囲で考えて、次の式を因数分解せよ. (イ) x-16 (7) 3x²-x-1 (2) x2+xy-6y2-9x+ky+20が1次式の積となるように定数kの値 を定めよ. 考え方 (1) (与式)=0」 とおき,xの2次方程式を考えると,複素数の範囲で必ず解をもつ。 (②2)まずxの2次式とみて因数分解し、これがx,yの1次式の積になると考える 別解では, 解答 「与えられた式が1次式の積で表される」 ⇒ 「( )( (1) (ア) 3²-x-1=0の解は, ___(-1)±√(-1)²-4・3・(-1) 2.3 x=- よって, の形に因数分解できる」ことから, ( 3-x-1=(x-1+13) (x_1-13) 6 したがって, x2+4=(x-2i)(x+2i) (2) xの2次方程式 2の係数3を忘れ 6 ないこと (イ)x_16=(x-4)(x+4)=(x-2)(x+2)(x+4) 32x-1=0の2 x=±2i x2+4=0の解は,x2=-4より 解を α,βとすると、 左辺は 3x-x-1 *m−(x+2)(-+^x x=- , x₁-16=(x-2)(x+2)(x−2i) (x+2i) Vs x2+(y-9)x-6y2+ky+20= 0 の判別式をDとすると,①の解は, Ex++ -(y-9)±√D_9-y±√D 1±√13 6 2 ...1 2 って、与式は, () 9-y+√D (①)(x 9-y-√D 宇都(与式)=(xーターサナ)(x-9-12D) X- と因数分解できる. D=(y-9)2-4・1・(-6y²+ky +20) したがって, 4(k+7)(k+2)=0 よって, k=-7, -2 **** yについての2次方程式 25y²-2(9+2ky +1=0 の 判別式をDとすると, D1=0 である. mi D₁={-(9+2k)}²-25-1=4k²+36k+56 =4(k'+9k+14)=4(k+7)(k+2) ( )の形で表す。 =y²-18y+81+24y²-4ky-80)=(-888- =25y2-2(9+2ky +1 したがって, 与式がx,yの1次式の積になるのは、 根号の中のDがyの完全平方式であるときである。 解の公式を用いる。 S-8228 =3(x-a)(x-β) と因数分解すること ができる. yの2次式 完全平方式とは, ay-α)の形のこと 完全平方式であるか ら、重解をもつ (判別式) = 0 k-7 のとき D=(5y + 1)² k=2のとき D=(5y-1)2 注》Dがyについての2次式なので,Dをa(y-α)² と表すことができればDはyの 1次式として表すことができるので ひが (ab=20 ①F旬に代 FOCUS Ok 0 13 ar