式
方程式の整数解3)
例題 255
また、 ①)
不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ、
とめて計算
定衣宝不
岡題 254のように特殊解を求めたいが,係数が大きいため実際に値を代入して求める
のは困難である。そこで,ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求める。
考え方」
おつmlo
方程式 57x+13y=1
①の係数 57と13について
解答
…
ユークリッドの互除法を用いる。
真
57=13×4+5 より, 57-13×4=5
13=5×2+3 より,13-5×2=3
5=3×1+2 より、
3=2×1+1 より,
5に④を代入して,
この万3-(5-3×1)×1=1
して特殊3×2-5×1=1できる
これに3を代入して,
2
39+x さま不太一
…の
5-3×1=2
abeea
3-2×1=1
もので、 後は先と同に
)2) T )2s ) 230
I 38 250
の形の特殊 が
となる
2 1a
(13-5×2)×2-5×1=1
この方。
13×2-5×5=1
これに2を代入して,
13×2-(57-13×4)×5=1
自 の のこ
x=-5, y=22 が
57×(-5)+13×22=1 …6
(証明したがって,
D-6より,
57(x+5)+13(yー22)=0
57(x+5)=13(22-y) の
57 と 13 は互いに素であるから, x+5は13の倍数となる.
したがって,kを整数として,
x+5=13k,すなわち,
これを⑦に代入すると,
57k=22-y より, y=-57k+22
しよって, 求める一般解は, ら se-d ,e8a=sJコ
x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数) 1-d1-
のの解の1つ
を代入すると。
1aPas-(31eー(d88+8-
dE8+8- -
x=13k-5
57×13k=13(22-y)
