例題
nは自然数とする。 n +2は3の倍数であることを 数学的帰
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納法によって証明せよ。
証明 「n+2は3の倍数である」 を (A) とする。
[1] n=1のとき n+2n=13+2・1=3
よって, n=1のとき, (A)は成り立つ。
[2] n=kのとき (A)が成り立つ, すなわちk+2kは3の倍
数であると仮定すると, ある整数mを用いて
k3+2k=3m
と表される。
n=k+1のときを考えると
(k+1)³+2(k+1)=(k³+3k²+3k+1)+(2k+2)
=(k³+2k)+3(k²+k+1)
=3m+3(k²+k+1)
=3(m+k²+k+1)
m+k²+k+1は整数であるから, (k+1)+2(k+1)は3の
倍数である。 よって,n=k+1のときにも(A)は成り立つ。
[1], [2] から すべての自然数nについて (A)は成り立つ。終
↑ 教科書の間を以下のようにそくのは、まちがってますか?
よそで
証明 +2は3の倍数である」 を (A)とする。
[1] n=1のとき n+2n=13+2・1=3
(k+1)+2(k+1)
を計算して不足分を
よって, n=1のとき, (A)は成り立つ。
両辺に加えた
[2] =kのとき (A)が成り立つ, すなわち+2kは3の倍
数であると仮定すると, ある整数mを用いて
k3+2k=3m
2
両辺に3k+3kf3zpえると
k³ + 2k + 3k² +3k +3 = 3 m + 3/²² +3 (+3
k3+3K²+3K+1+2k+2=3(mtktk+1)
(k+1)' + 2(k+1)=3 (mtktkt1
2
m+k+k+1は整数なので (K+13+2(k+1)は
3の倍数、よって、n=ktiのときも成立する
[1][2]よりすべての自然多いについて(A)は成立する
k3+3+1+2k+2
=1+2+3+3k+3
