-
![]()
446の会社数は無数
基本事項
① 最大公約数と最小公倍数
(12) 24.……
2つ以上の整数に共通な約数を,それらの整数の公約数といい、公約数のうち最大
のものを最大公約数という。 また,2つ以上の整数に共通な倍数を,それらの整数
の公倍数といい,公倍数のうち正で最小のものを最小公倍数という。
一般に、公約数は最大公約数の約数 公倍数は最小公倍数の倍数である。
TA
注意 最大公約数をG.C.D Createst Common Divisor) または G.C.M (Greatest Common
Measure), 最小公倍数を L.C.M (Least Common Multiple) ともいう。
② 互いに素
2つの整数αの最大公約数が1であるとき, a,bは互いに素であるという。
③3 最大公約数 最小公倍数の性質
2つの自然数a,b の最大公約数をg, 最小公倍数を1とする。 aga, b=gb' である
とすると,次のことが成り立つ。
a' と'は互いに素
gdg b
21=ga'b'=a'b=ab'
解説
<最大公約数、最小公倍数>
上の1) 2) を証明してみよう。 それには,まず2) から示す。
[2) の証明]a,b,c, ······
の最小公倍数を 任意の公倍数をとする。
kを1で割ったときの商を Q, 余りをrとすると
a,bはgでひろいろ
なかった素因数の
あつまり
~ 1 Y = 77₂ 318 7
きずり h=qlty...... ①,0ょくし
-0
もしもの倍数であるから, k=ak', l=gl' (k', I'は整数)と表され
axsh Tabの任にかけた
rkgl=g(k-ql ) より はαの倍数である。
ab=gl
同様に,b, G…. の倍数であるから､はa,b,c,….. の公倍
w z C
数である。 「ここで、y=0 と仮定すると、より小さい正の公倍数rが存
在することになるが,これはが最小公倍数であることに矛盾する。」
ゆえに = 0 よって, ① はん=ql となり, kは1の倍数である。
[1) の証明] α, b, c, ······
の最大公約数を g, 任意の公約数をmとする。
「1をgとmの最小公倍数とすると, はgとmの公倍数であるから 2)
より αはもの倍数である。 同様に, b, c, ...... もの倍数である。
したがって は a, b, C....... の公約数である。
ここでgが最大の公約数であるから
l≤g
12g ゆえに lg
一方, 1はgとmの最小公倍数であるから
よって,gとmの最小公倍数がg に一致し, gはmの倍数である。
すなわち, 任意の公約数は最大公約数g の約数である。
大きい所どり!
xy
X² Yo
X'Y = l
この等式については、
次の 「§18 整数の割
り算と商および余り」
で詳しく学習する。
<背理法。
Fag (A))
1) を示すにぼg と
mの最小公倍数が
であることを示せば
よい｡
ASB かつ A≧B
ならば A=B
この論法は整数の性
質に関する証明でよ
