定理4.6 f(x),g(x) が (a,b) 上の微分可能な関数で
lim f(x) = lim_g(x) =+∞
エロ+
f'(エ)
をみたしているとする。 このとき 極限 lim
= = A が存在するならば
x+a+ g'(x)
f(x)
lim
== A
za+ g(x)
が成り立つ。なおこの定理は lim の部分をすべて lim あるいは lim,
+α14
lim におきかえても成立する.
b-
8
◆証明 任意の0<<1に対して,あるδ0が存在し,a<x<a+δに対して
f'(x)
A-< <A+EAKE
g'(x)
が成り立つ。必要なら80をさらに小さくとって,f(x)>0,g(z) >O(a<x<
a+δ) となるようにできる。 コーシーの平均値定理から, a<x<a +δに対して,あ
∈ (+8)が存在し,
f(x)-f(a+8) f'(g)
=
g(x) − g(a+8)
g'(§)
が成り立つ。ゆえに
A-ε<
f(x)-f(a+8)
である. したがって
f(x)
=
+
g(x)
g(x)
である. ここで 9(x) − g(a+6)
= 1
g(x)
g(a+6)
(エ)
f(a+8)
→1 (x → a+),
g(x) − g(a + 8)
f(x)-f(a+δ)g(x)-g(a+8) f(a+8)
9(x) g(x) − g(a+8)
<A+e
価
以
grat
(エ)
0(土)であるから,必要ならばさらにを小さくとることにより1>
g(z)-g(a+6)
f(a +8)
g(x)
>1-ɛ, 0<
<e としてよい。ゆえに
g(x)
f(x)
(A+c) +g>
>(A-) (1-e)=A-e(A+1-c)
g(x)
が成り立つ。よって定理が証明された, 残りの主張も同様の議論で証明できる.
