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10 接線・法線
曲線C:y=x-kx (k は実数) を考える. C上に点A(a, a3-ka) (a≠0) をとる.次の問い
に答えよ.
(1) 点AにおけるCの接線をムとする
めよ.
(2) 点BにおけるCの接線をとする
(3) とが直交するα が存在するようなんの値の範囲を求めよ.
接線と法線 曲線y=f(x) の接線に, 接点で直交する直線を法線という. 2直線y=mx+n,
y=m'x+n' が直交する条件は,mm'=-1だったので(t, f(t)) での法線の傾きは, f'(t)=0 のと
である.
1
f' (t)
法線は (t, f(t)) を通り, 傾き -- 1
..
解答
(1) f(x)=x-kxのとき,f'(x)=3x-k
の式は,y=(3a²-k) (x-a)+α3-ka
y=(3a²-k) x-2a³
Cと連立させて, xkx=(3a²-k) x-2a3
k²z
②の解と係数の関係より (2解の積) =- 36
もう一方の解も正となり, 2解はともに正である.
方程式②が,正の2解 (重解も含む) を持つ条件は,
(判別式) ≧0かつ (2解の和)>0
(15k)2-436(k²+1) ≧0かつ
16
9
かつ k>0
15k
36
Bのx座標を求
とCのA以外の交点をBとする。
の直線なので,g=--
f'(t)
.. x3-3a²x+2a²=0
(x-a)²(x+2a)=0
よって, x=a, -2aとなり, Bのx座標は,2α
(2)
が直交 ⇔ , の傾きの積が-1⇔ f'(a) f'(-2a)=-1
より (3a²-k) (12a²-k)=-1 .. 36a¹-15ka²+k²+1=0
(3) α²=X とおくと, ① は, 36X2-15kX + k2+1 = 0
αの4次方程式 ① も, Xの2次方程式 ②も0を解として持たない. よって
方程式 ① が実数解を持つ
② が正解を持つ
方程式
->0
4
k² 333
とんが直交するとき, a とんがみたす条件を求めよ.
(阪大・文系)
10 演習題 ( 解答は p.128)
B
-2a
f(t) (x-t)+f(t) とかける。
f'
f
x
A
k2+1 ->0であり, 一方が正であれば,
①
2
x=aで接するので,この左辺は
(x-α)を因数に持ち (p.132)
定数項を考えると,
(x-a)(x+2a) と因数分解で
きる.
y=mx+nとy=m'x+n' が直
交する条件は,mm'=-1
α = 0 は ①を満たさない. X = 0
←は②を満たさない
α=0のとき, X ( =α² ) > 0
←解と係数の関係
f(x)=x^3+ax+bx (a,b は定数) とする.
(1) f(z) の導関数f(x) の最小値を求めよ.
(2) ²-360とするとき,任意の正の定数kに対し, 方程式f'(x) = k は実数解を持
つことを示せ.
(3) 曲線y=f(x) が直交する2つの接線を持つための必要十分条件は²-36>0で
あることを示せ .
( 岩手大・農)
a²-3b>0
直交2接線を持つ
を示すには,f'(x)=K
f'(x)=--
実数解を持つKの存在
をいう.
1
K
がともに
123
