積分法
69 定積分漸化式
[1] Insinx dx について, In +2 を In で表すと In+2= [
る. I = であることから, Is=___である.ただし, nは 0
(関西医科大)
以上の整数とし, sinx=1 とする.
[2].gを0以上の整数とし,Ing='x(1-x)dx とおく。
ただし,x=1,(1-x)=1とする.
(1) Ip.o の値を計算せよ .
か!g!
(3) Ipq=(p+g+1)!
(2)g=1のとき,In.opf が成り立つことを証明せよ。
14. 0+3
が成り立つことを証明せよ.
■解答
[1] 部分積分を行うと,
- Sisinxdx
n+2
In+2=²
sin
・積分
1x sinx dx = sin"
そのまま
n+1
Die sin0=0, cos-
号=0より, [sin"'x.(-cosx) |
2
_:_ n+1
π
=(n+1) "sin" xcos' x dx
Jo
p+1,9-1
=
F+d;
730
X. •(-
- COS x
0=
2
=(n+1) "sin"x(1-sin'x)dx
=(n+1)f (sin"x-sin +2 x) dx
+2
=(n+1) ¹ sin" x dx - (n+1) * sin¹+² x dx
=(n+1)In-(n+1)In+2
したがって, In+2=(n+1) In- (n+1) In+2 が成り立ち、これを整理すると,
(n+2)In+2=(n+1) In
∴. In+2=
次に,Lを求めると, Le= fusinxdx=1dx=1x12=1/20
① でn=0 とすると,
n+1In
n+2
.
とな
そのまま
J
]] - [ ²³ (n + 1) sin" x cos x ( − cos. x) dx
0
微分
(上智大)
sin"+1x=(sinx)" +1 であるから
微分すると、
π
は0となる
(n+1)(sin.x)x(sin)(n+1) siniacos
π
4
