ここで、a-2cって整数ですよね。bが自然数なので、a-2cが自然数の範囲で考えてみましょう。
もしa-2cが1だったとしましょう。そしたら、b=12×1=12ですよね。でも上の話から、0〜4しかとれませんから、ありえません。
同様に、2, 3, 4,...と大きくしていっても、4より大きくなっちゃって、ありえない数字になります。
でも、a-2c=0のときだけ、b=12×0=0ってなって、ありえる値になります。ということは、bは0しか無理ってことになります。

(1)より、abc(5)=25a+5b+cです。
同様に、7進法の方も10進法にします。
cba(7)=49c+7b+a

これが同じ数を表しているので
25a+5b+c=a+7b+49c
2b=24a-48c
b=12a-24c
b=12(a-2c)

それと、なぜabc(5)を(1)のように変形するかというと、5進法と7進法だと、進法合ってないですよね。進法を合わせないと意味がわからないです。でも、5進法とか7進法に合わせると慣れてないのでこれもまたこんがらがります。なので、(1)では10進法にしてます。10進法なら、普通に計算できますからね。

それと、今回使うかわからないですが、一応確認しとくことがあります。
5進法は各桁が「0〜4」のどれか、7進法は「0〜6」のどれかですよね。どっちも満たさなきゃいけないので、キツい方の条件である「0〜4」は必ず満たさないとダメです。

次に、128ですね。
(1)は、何度も言ってきた話なので、大丈夫だと思います。
5^2がa個、5がb個、1がc個、ということですね。