Question

ぷりん

これ、ガチわからんです。教えて欲しいです。問2です。

【5】
図1
片方の面が白、もう片方の面が黒である同じ大きさで平らな円形の石が6個
ある、これら6個の石の白と慕の調面には 1.2. 3, 4, 5, 6の数がそれぞれ1
2
つずつ書かれており, 両面に書かれた数は同じである。右の図1は, 書かれた
数が1と2の石を示しており、1の石は白の面が上に、 2の石は黒の面が上に
なっている。
これら6鋼の石が、 図2のように. 縦3個, 横2個に並んだます目に, すべて
図2
白の面を上にして1個ずつ, 左上から 1. 2. 3. 4. 5. 6の順に並べられている。
大、小2つのさいころを同時に1投げ, 出た目の数によって、次の【操作1】.
(3(4)
【操作2 を願に行うこととする。
【操作大きいさいころの出た目の数の約数と同じ数が書かれた石をすべて
5)
裏返す。
【操作 2 小さいさいころの出た目の数の約数と同じ数が書かれた石をすべて
裏返す。
例-
大きいさいころの出た目の数が1, 小さいさいころの出た日の数が4のと
図3
き,『操作}で図2の1が書かれた石を裏返し,【操作 2] で1.2. 4が書
(1
かれた石を裏返す。
3
5
6
この結果、図3のように, 1. 3, 5, 6が書かれた石は白の面が上に, 2, 4
が書かれた石はの面が上になっでいる。
いま。石が図2のように並べられている状態で, 大, 小2つのさいころを同時に1回投げるとき, ※
の問いに答えなさい。 ただし、 大, 小2つのさいころはともに, 1から6までのどの目が出ることも同
様に醸からしいものとする。
2
3
問1.すべての石の白の面が上となる確率を求めなさい。
4
5
6
問2.白の面が上になっているすべての石の、白の面に書かれた数の積が60の倍数になる
確率を求めなさい。
B612-
【6)
ドの図のト

Answer 1

✨ Best Answer ✨

mo1

操作１(大の約数を裏返し)、操作２(小の約数を裏返し)で
「黒」になるものは、大，小のどちらか一方で裏返し、他方で裏返さない場合
「白」になるものは、「黒」にならな場合
　　結果は順番は関係なくなります

●2個それぞれの約数(裏返すもの)が以下のようになります
　　6の約数{1，2，3， ， ，6}
　　5の約数{1， ， ， ，5， }
　　4の約数{1，2， ，4， ， }
　　3の約数{1， ，3， ， ， }
　　2の約数{1，2， ， ， ， }
　　1の約数{1， ， ， ， ， }
――――――――――――――――――――――――――――――――――――

(1)すべての石の白の面が上となる確率
【1回目で裏返った石が２回目で裏返れば良いので】
　大小同じ数が出る時を考え
　(１１)，(２２)，(３３)，(４４)，(５５)，(６６)
　　　求める確率は、6/36＝1/6

(2)白の面が上になっているすべての石の上の面に書かれた数の積が60のときの確率
【1×2×3×4×5×6＝720　から、黒の積が720÷60＝12となる場合を考えます】
　上の表から、黒の積を考え
　(１２)→2、(１３)→3、(１４)→2×4＝8、(１５)→5、(１６)→2×3×6＝36
　(２３)→2×3＝6、(２４)→4、(２５)→2×5＝10、(２６)→3×6＝18
　(３４)→2×3×4＝24、(３５)→3×5＝15、(３６)→2×6＝12
　(４５)→2×4×5＝80、(４６)→3×4×6＝72
　(５６)→2×3×5×6＝180
　●(３４）または（４３)の2通り
　　求める確率は、2/36＝1/18

―――――――――――――――――――――――――――――――――――　
参考です。(ａｂ)と(ｂａ)は同じ結果になります
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
１＿→１１｜１＿→１２|１＿→１３｜１＿→１４|１＿→１５｜１＿→１６|
❶②　①②｜❶②　①❷|❶②　①②｜❶②　①❷|❶②　①②｜❶②　①❷|
③④　③④｜③④　③④|③④　❸④｜③④　③❹|③④　③④｜③④　❸④|
⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　❺⑥｜⑤⑥　⑤❻|

２＿→２１｜２＿→２２|２＿→２３｜２＿→２４|２＿→２５｜２＿→２６|
❶❷　①❷｜❶❷　①②|❶❷　①❷｜❶❷　①②|❶❷　①❷｜❶❷　①②|
③④　③④｜③④　③④|③④　❸④｜③④　③❹|③④　③④｜③④　❸④|
⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　❺⑥｜⑤⑥　⑤❻|

３＿→３１｜３＿→３２|３＿→３３｜３＿→３４|３＿→３５｜３＿→３６|
❶②　①②｜❶②　①❷|❶②　①②｜❶②　①❷|❶②　①②｜❶②　①❷|
❸④　❸④｜❸④　❸④|❸④　③④｜❸④　❸❹|❸④　❸④｜❸④　③④|
⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　❺⑥｜⑤⑥　⑤❻|

４＿→４１｜４＿→４２|４＿→４３｜４＿→４４|４＿→４５｜４＿→４６|
❶❷　①❷｜❶❷　①②|❶❷　①❷｜❶❷　①②|❶❷　①❷｜❶❷　①②|
③❹　③❹｜③❹　③❹|③❹　❸❹｜③❹　③④|③❹　③❹｜③❹　❸❹|
⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　⑤⑥｜⑤⑥　⑤⑥|⑤⑥　❺⑥｜⑤⑥　⑤❻|

５＿→５１｜５＿→５２|５＿→５３｜５＿→５４|５＿→５５｜５＿→５６|
❶②　①②｜❶②　①❷|❶②　①②｜❶②　①❷|❶②　①②｜❶②　①❷|
③④　③④｜③④　③④|③④　❸④｜③④　③❹|③④　③④｜③④　❸④|
❺⑥　❺⑥｜❺⑥　❺⑥|❺⑥　❺⑥｜❺⑥　❺⑥|❺⑥　⑤⑥｜❺⑥　❺❻|

６＿→６１｜６＿→６２|６＿→６３｜６＿→６４|１＿→６５｜６＿→６６|
❶❷　①❷｜❶❷　①②|❶❷　①❷｜❶❷　①②|❶❷　①❷｜❶❷　①②|
❸④　❸④｜❸④　❸④|❸④　③④｜❸④　❸❹|❸④　❸④｜❸④　③④|
⑤❻　⑤❻｜⑤❻　⑤❻|⑤❻　⑤❻｜⑤❻　⑤❻|⑤❻　❺❻｜⑤❻　⑤⑥|

mo1

「60」と「60の倍数」を読み違えしていましたので、訂正です

60になるのは、黒の積が720÷60＝12になる時なので、(２６)と(６２)の　2通り
120になるのは、黒の積が720÷120＝6になる時なので、(２３)と(３２)の　2通り
180になるのは、黒の積が720÷180＝4になる時なので、(２４)と(４２)の　2通り
240になるのは、黒の積が720÷240＝3になる時なので、(１３)と(３１)の　2通り
360になるのは、黒の積が720÷360＝2になる時なので、(１２)と(２１)の　2通り
●合計10通りなので、
　求める確率は、10/36＝5/18

ぷりん

ありがとうございます！！
当たってるんですけど、なんで黒の積だすんですか？あと、（1 1)とか、(2 2)のときってなんで含まないんですか。教えて欲しいです。

mo1

＞当たってるんですけど、なんで黒の積だすんですか？

●答えるのは白の積ですが、黒の積の方が考えやすいことからです

＞あと、（1 1)とか、(2 2)のときってなんで含まないんですか。教えて欲しいです。

●(１１)のときは、
大のさいころが(１)で、①が裏返って❶となります。
小のさいころが(１)で、❶が裏返って①となります。
　つまり、裏返って裏返ると元に戻ります。

●(２２)のときも
　同様に、裏返って裏返るので元に戻ります。

●このように、同じ数が出たときは、
　同様に、裏返って裏返るので元に戻ります。

●まとめると、
　同じ数が出たときは、元のすべて白になるので、積は720となります

ぷりん

720って60の倍数じゃないんですか

mo1

あっ！

そうですね。再訂正です。御免なさい　m(__)m　

ぞろ目６通りを加えて、10＋6＝16

確率：16/36＝4/9

補足
★60の倍数に着目すると、もう少し楽にできるような気がします

mo1

追加訂正

誤：60になるのは、黒の積が720÷60＝12になる時なので、(２６)と(６２)の　2通り

正：60になるのは、黒の積が720÷60＝12になる時なので、(３４)と(４３)の　2通り

ぷりん

えっ！でも、5/18であってるんですよ！回答みたら。

mo1

★全部書き出してみました
―――――――――――――――――
１１｜１２|１３｜１４|１５｜１６|
①②｜①❷|①②｜①❷|①②｜①❷|
③④｜③④|❸④｜③❹|③④｜❸④|
⑤⑥｜⑤⑥|⑤⑥｜⑤⑥|❺⑥｜⑤❻|
―――――――――――――――――
２１｜２２|２３｜２４|２５｜２６|
①❷｜①②|①❷｜①②|①❷｜①②|
③④｜③④|❸④｜③❹|③④｜❸④|
⑤⑥｜⑤⑥|⑤⑥｜⑤⑥|❺⑥｜⑤❻|
―――――――――――――――――
３１｜３２|３３｜３４|３５｜３６|
①②｜①❷|①②｜①❷|①②｜①❷|
❸④｜❸④|③④｜❸❹|❸④｜③④|
⑤⑥｜⑤⑥|⑤⑥｜⑤⑥|❺⑥｜⑤❻|
―――――――――――――――――
４１｜４２|４３｜４４|４５｜４６|
①❷｜①②|①❷｜①②|①❷｜①②|
③❹｜③❹|❸❹｜③④|③❹｜❸❹|
⑤⑥｜⑤⑥|⑤⑥｜⑤⑥|❺⑥｜⑤❻|
―――――――――――――――――
５１｜５２|５３｜５４|５５｜５６|
①②｜①❷|①②｜①❷|①②｜①❷|
③④｜③④|❸④｜③❹|③④｜❸④|
❺⑥｜❺⑥|❺⑥｜❺⑥|⑤⑥｜❺❻|
―――――――――――――――――
６１｜６２|６３｜６４|６５｜６６|
①❷｜①②|①❷｜①②|①❷｜①②|
❸④｜❸④|③④｜❸❹|❸④｜③④|
⑤❻｜⑤❻|⑤❻｜⑤❻|❺❻｜⑤⑥|
―――――――――――――――――
★これが正しければ
(１１)(２２)(３３)(４４)(５５)(６６)･･･1×2×3×4×5×6＝720　〇
(１２)(２１)･･･････････････････････････1　 ×3×4×5×6＝360　〇
(１３)(３１)･･･････････････････････････1×2　 ×4×5×6＝240　〇
(１４)(４１)･･･････････････････････････1　 ×3　 ×5×6＝ 90　✕
(１５)(５１)･･･････････････････････････1×2×3×4　 ×6＝144　✕
(１６)(６１)･･･････････････････････････1　 　 ×4×5　 ＝ 20　✕
(２３)(３２)･･･････････････････････････1　 　 ×4×5×6＝120　〇
(２４)(４２)･･･････････････････････････1×2×3　 ×5×6＝180　〇
(２５)(５２)･･･････････････････････････1　 ×3×4　 ×6＝ 72　✕
(２６)(６２)･･･････････････････････････1×2　 ×4×5　 ＝ 40　✕
(３４)(４３)･･･････････････････････････1　 　 　 ×5×6＝ 30　✕
(３５)(５３)･･･････････････････････････1×2　 ×4　 ×6＝ 48　✕
(３６)(６３)･･･････････････････････････1　 ×3×4×5　 ＝ 60　〇
(４５)(５４)･･･････････････････････････1　 ×3　 　 ×6＝ 18　✕
(４６)(６４)･･･････････････････････････1×2　 　 ×5　 ＝ 10　✕
(５６)(６５)･･･････････････････････････1　 　 ×4　 　 ＝ 4　✕
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
★やはり、
　　(３６)(６３)･･･60
　　(２３)(３２)･･･120
　　(２４)(４２)･･･180
　　(１３)(３１)･･･240
　　(１２)(２１)･･･360
の１０通りと
　　(１１)～(６６)･･･720
の６通りで

　１６通りとなり、16/36＝4/9　のようです　

★全てやってみたので、私の問題の読み違えか

　何か特別な条件があるかだと思うのですが･･･

★解説には何か書いてあるでしょうか？

ぷりん

ありがとうございます。
解答しかもらってなくて、解説がないんですよ。だから、気になってしまって。ありがとうございます

Answer 2

ブドウくん

積が60の倍数になるということは
積=60×(整数)=2²×3×5×(整数)
になるということです。
全部裏返したとしても1×2×3×4×5×6=720なので、考えられる60の倍数は60,120,...,660,720です。

石に書いてある数は1,2,3,4,5,6であり、それぞれ素因数分解すると1, 2, 3, 2², 5, 2×3となります。よって、マックスでも素因数2は4回(2と4と6を書ける場合)、3は2回、5は1回しかかけることはできません。
例えば、
300=60×5=(2²×3×5)×5
というのもあてはまりそうです。この場合5を2回かけないといけません。しかし、素因数5は5を裏返す場合の1回しか使えないので、こうなることはありえません。
このように考えれば
300=2²×3×5² (→5が2つなのでアウト)
480=2の5乗×3×5 (→2が5つなのでアウト)
540=2²×3³×5 (→3が3つなのでアウト)
600=2³×3×5² (→5が2つなのでアウト)
660=2²×3×5×11 (→11なんてないのでアウト)
を除いた
①60=2²×3×5
②120=2³×3×5
③180=2²×3²×5
④240=2の4乗×3×5
⑤360=2³×3²×5
⑥720=2の4乗×3²×5
の6パターンに限られます。

①60=2²×3×5
まず5が必要なので5が白でないといけない。残った2²×3を(1から6、すなわち1, 2, 3, 2², 5, 2×3で)つくる方法は(2,6)か(3,4)の2パターン考えられる。
よって(2,5,6)(3,4,5)

②120=2³×3×5
まず5が必要で、2³×3を作る方法は(2,3,4)(4,6)のみなので(2,3,4,5) (4,5,6)

③180=2²×3²×5
まず5が必要で、2²×3²を作る方法は(2,3,6)のみなので(2,3,5,6)

④240=2の4乗×3×5
まず5が必要であとは(2,4,6)のみなので(2,4,5,6)

⑤360=2³×3²×5
まず5が必要であとは(3,4,6)のみなので(3,4,5,6)

⑥720=2の4乗×3²×5
全部裏返した(2,3,4,5,6)
(1はあってもなくても関係ない)

あとはそれぞれ検証します。

ブドウくん

1はどんな目でも裏返り、2回終わったときには白なので考えなくてよい。

①
(2,5,6)→2回で3と4だけを黒にするのは無理(4を裏返そうとすれば2も裏返るが、3を裏返して2も元に戻すのは6しかなく、そうすると今度は6が裏返る)

(3,4,5)→2と6が黒→6の目を出してから3を出す、その逆の2通り

②
(2,3,4,5)→6だけ黒→無理(6を黒にするために6を出せば2,3も裏返るが、その両方を元に戻すのは6しかなく、そうすると6も元に戻ってしまう)

(4,5,6)→2と3が黒→3を出してから2を出す、その逆の2通り

③
(2.3.5.6)→4だけ黒→4をだしたあと2を出す、その逆の2通り

④
(2,4,5,6)→3だけ黒→3を出したあと1を出す、その逆の2通り
⑤
(3,4,5,6)→2だけ黒→2を出してから1を出す、その逆の2通り
⑥
(2,3,4,5,6)→すべて白→(1)の答え
同じ目を連続でだせばよいので1から6の6通り

ゆえに16/36=4/9だと思います。

ブドウくん

先にサイコロの目の組み合わせから6×6(実際は半分でよい)の表をつくって解く方がはやいかもしれないです。