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「∠PQGが135度になるのがどうやってわかるのか」と書いていますが、これは「∠PQG=135°のとき」として与えられた条件なのでそういうものとして解くしかありません。
むしろ、「∠PQG=135°」となるのはどういう時か?を考えるべきです。

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