Question

漱石

中点連結定理についてです。
中の四角形が正方形になる時はどのような場合なのでしょうか？
またその証明もお願いします🙏

Answer 1

mo1

問題？図？　がありません。

mo1

一応問題を推測して・・・、

外側の四角形の2本の対角線の長さが等しく垂直に交わるとき、

と答えがなりそうです。

証明は曖昧な状況では無理です

漱石

四角形の図形の辺の長さが全て違う時に中点をそれぞれ辺に取って結ぶと正方形になる。というものです。

mo1

推測したものと同じです。

頂点{Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ}、中点{■，●，▲，◆}、{問題文}等を設定して、

証明するために必要なものを明確にしていただければ、それを証明します。

漱石

お願いします！

mo1

参考・概略です(問題は一部補っています)
―――――――――――――――――――――
辺の長さが全て異なる四角形ＡＢＣＤで、

　{辺ＡＢ，辺ＢＣ，辺ＣＤ，辺ＤＡ}の中点を

　　{Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ}として

　四角形ＰＱＲＳが正方形であるとき

　　ＡＣ＝ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤ　を証明

―――――――――――――――――――――
△ＡＢＣにおいて

　{点Ｐ，点Ｑ}は{辺ＡＢ，辺ＢＣ}の中点なので

　中点連結定理より、ＰＱ//ＡＣ，ＰＱ＝(1/2)ＡＣ　･･･　①

△ＡＢＤにおいて

　{点Ｐ，点Ｒ}は{辺ＡＢ，辺ＡＤ}の中点なので

　中点連結定理より、ＰＲ//ＢＤ，ＰＲ＝(1/2)ＢＤ　･･･　②

仮定：四角形ＰＱＲＳが正方形である事から

　ＰＱ＝ＰＲで、ＰＱ⊥ＰＲ　･･･　③

①，②，③　から

　ＡＣ＝ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＤ

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以上のような理由で

　四角形のＡＢＣＤの各辺の中点を結んでできる

　四角形ＰＱＲＳが正方形であるとき

　　四角形ＡＢＣＤの対角線は

　　　長さが等しく垂直に交わる
―――――――――――――――――――――――
という感じです