Question

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どうやって求めるんですか？

(4)
1-3
1-6
+
b
1-4
を満たす自然数の組 (a, b) を求めよ。 ただし、 a <b とする。

Answer 1

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Clearnote User

( )×( )=整数という形を作る方法1と、不等式で範囲を絞り込む方法2がある。

[方法1]
(1/a)+(1/b)=1/3
両辺を3ab倍すると、
3b+3a=ab
ab-3a-3b=0
(a-3)(b-3)-9=0
(a-3)(b-3)=9
(a-3)と(b-3)の積が9だから、考えられるa-3、b-3の組み合わせ、(a-3,b-3)は、(1,9),(3,3),(9,1),(-1,-9),(-3,-3),(-9-1)の6通り考えられるが、a<bより、a-3<b-3なので、(1,9),(-9,-1)の2通り。

(a-3,b-3)が(1,9)のとき、(a,b)=(4,12)でa<bを満たす。

(a-3,b-3)が(-9,-1)のとき、(a,b)=(-6,2)で、ともに自然数という条件を満たさないので不適。

従って、(a,b)=(4,12)

[方法2]
a<bより、
1/3=(1/a)+(1/b)<(1/a)+(1/a)
1/3<(1/a)+(1/a)
1/3<(2/a)
a<6
また、aは自然数なので、aの範囲は1≦a<6となるから、a=1,2,3,4,5。しかし、a=1,2,3のときは、1/a+1/bは、1/3を超えてしまうので不適。

a=4のとき、
1/3=(1/4)+(1/b)
4b=3b+12
b=12
となり、ともに自然数という条件を満たす。

a=5のとき、
1/3=(1/5)+(1/b)
5b=3b+15
b=15/2
となり、ともに自然数という条件を満たさないので不適。

従って、(a,b)=(4,12)

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りとても丁寧な説明をありがとうございます！！！！
わかりやすいです！！理解出来ました😭
ありがとうございます！！