Question

みさ🐨

写真に写っている大問1の(3)と(4)を教えてください！
解説お願いします🙇🏻‍♀️՞

1 右の図のように、放物線y=ax2 (a>0) と直線l:
|y=-x+6が2点A, B で交わっているとします。
| また, l と平行な直線と放物線との交点をC,D
とし,点A,Cのx座標をそれぞれ-3, p(p<-3)
とします。このとき,あとの問いに答えなさい。
(1) αの値を求めなさい。
(2) 点B の座標を求めなさい。
m
l
(3) 点D の座標をを用いて表しなさい。
(4) AB:CD=5:6のとき, 台形 ABDCの面積を
求めなさい。
y↑
C
A
D
B
P-30

一次関数 二次関数 台形

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

(3)
mの直線は、ℓと平行なので、傾きが同じで
y＝-x+eとおく
点Cは、y=x²にpを代入して、C(p,p²)
これをy＝-x+eに代入して、
p²＝-p+e　→　e＝p²+pより、
直線mは、y＝-x+p²+pと置ける。

Dの点は、y＝x²とy=-x+p²+pを連立して
x²=-x+p²+p　
→　x²+x-p²-p＝0
→　x²+x-p(p+1)＝0
→　(x-p)(x+p+1)＝0
→　x=p、-p-1
よって、Dの座標は、(-p-1,p²+2p+1)

きらうる

(4)
A(-3,9）、B(2,4)、C(p,p²)、D(-p-1,p²+2p+1)
とわかったので、
AB：CD＝5：6であり、m//ℓであるから、
ABのx座標の差：CDのx座標の差　も5：6になる。
これより、
2-(-3)：-p-1-p＝5：6
→　5：-2p-1＝5：6
→　p＝-7/2
これより、C(-7/2,49/4)、D(5/2,25/4)

台形ABDCの面積ですが、
良いやり方が思いつかなかったので、平行四辺形からいらないところを引く方法で行います。
Cと同じx座標でℓ上の点をE、Dと同じx座標でℓ上の点をFとします。
台形ABDC＝平行四辺形EFDC-△ACE-△BDF
として計算すると、
E(-7/2,19/2)、F(5/2,7/2)より、
平行四辺形EFDC＝(49/4-19/2)×(5/2-(-7/2))
　　＝11/4×6　＝33/2
△ACE＝(49/4-19/2)×(-3-(-7/2))×1/2
　　＝11/4×1/2×1/2　＝11/16
△BDF＝(25/4-7/2)×(5/2-2)×1/2
　　＝11/4×1/2×1/2　＝11/16

台形ABDC＝33/2-11/8-11/16
　＝264/16-11/16-11/16
　＝121/8

きらうる

(4)はもっといいやり方があるかもしれません。
三平方の定理が使えれば、台形の公式で求めることもできます。

みさ🐨

丁寧でわかりやすい解説をほんとにありがとうございます🙇🏻‍♀️՞
(3)の解説を特に参考にさせていただきました！

Answer 2

ブドウくん

CDとy軸の交点をE、ABとy軸との交点をFとすると、mがC(p,p²)を通ることからy=-x+(p²+p)なので、Eは(0, p²+p)であり、Fは(0,6)です。
三角形ABCの面積は三角形ABEの面積と等しく、三角形ABEの面積は三角形AEFと三角形BEFの和となります。
A(-3,9）、B(2,4)なので
三角形AEF→(p²+p-6)×3/2
三角形BEF→(p²+p-6)×2/2
となるから
(p²+p-6)×5/2
と表せます。
また、三角形BCDの面積は三角形ABCの面積の6/5倍なので
(p²+p-6)×5/2×6/5
=(p²+p-6)×3
と表せます。
よって、台形の面積は
(p²+p-6)×11/2
=(p-2)(p+3)×11/2
と表せます。

pは上の方が書かれているように-7/2なので、
(-7/2-2)(-7/2+3)×11/2
=(-11/2)×(-1/2)×11/2
=121/8
となります。

ブドウくん

※(4)の別解です。

みさ🐨

丁寧でわかりやすい解説をありがとうございます！
手順が詳しく理解できました。