まず、底面BCDだけを見る。
見やすくするために、三角形BCDを
B=(0,0), C=(1,0), D=(0,1)
という直角三角形だと思って考える。
P=(p,q) とおくと、
三角形PJGの面積 S は q² に比例する。
三角形PFIの面積 T は (1-p-q)² に比例する。
三角形PHEの面積 U は p² に比例する。
S:T:U = 1:9:4 なので、
q² : (1-p-q)² : p² = 1:9:4
よって、長さの比は、
q : (1-p-q) : p = 1:3:2
全部足すと 1+3+2=6 なので、
q = 1/6
1-p-q = 3/6 = 1/2
p = 2/6 = 1/3
つまり、Pの位置は、
B方向の成分 = 1/2
C方向の成分 = 1/3
D方向の成分 = 1/6
ここからは「切り落とし法」で考える。
四面体の体積は1。
平行な平面で切ると、切り落とされる小さい四面体は元の四面体と相似になる。
体積比は、長さの比の3乗になる。
(2)
面ABCに平行な平面で切ると、D側が切り落とされる。
D側の長さの比は、
1 - 1/6 = 5/6
なので、D側の体積は、
(5/6)³ = 125/216
面ABDに平行な平面で切ると、C側が切り落とされる。
C側の長さの比は、
1 - 1/3 = 2/3
なので、C側の体積は、
(2/3)³ = 8/27
ただし、C側とD側で重なって切り落とした部分を2回引いているので、1回戻す。
重なり部分の長さの比は、
1 - 1/3 - 1/6 = 1/2
なので、重なり部分の体積は、
(1/2)³ = 1/8
したがって、頂点Aを含む立体の体積は、
1 - 125/216 - 8/27 + 1/8
= 1 - 125/216 - 64/216 + 27/216
= 54/216
= 1/4
答え：1/4
(3)
今度は、面ABC、面ABD、面ACDに平行な3つの平面で切る。
D側の体積は、
(5/6)³ = 125/216
C側の体積は、
(2/3)³ = 8/27 = 64/216
B側の体積は、
(1/2)³ = 1/8 = 27/216
まずこれらを全体から引く。
次に、重なって2回引いた部分を戻す。
C側とD側の重なりは、
1 - 1/3 - 1/6 = 1/2
なので、
(1/2)³ = 1/8 = 27/216
B側とD側の重なりは、
1 - 1/2 - 1/6 = 1/3
なので、
(1/3)³ = 1/27 = 8/216
B側とC側の重なりは、
1 - 1/2 - 1/3 = 1/6
なので、
(1/6)³ = 1/216
3つ全部の重なりは、
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
となり、体積は0なので考えなくてよい。
したがって、頂点Aを含む立体の体積は、
1 - 125/216 - 64/216 - 27/216 + 27/216 + 8/216 + 1/216
= 36/216
= 1/6
答え：1/6
おそらくいけてるかと！
