✨ Best Answer ✨
条件を満たす自然数を５Ｎとおく。
条件から、任意の自然数ｘ, ｙを用いて、
５Ｎ＝１２ｘ＋２ ･･･①
５Ｎ＝１８ｙ＋２ ･･･②
と表せる。
よって、
１２ｘ＋２＝１８ｙ＋２
２ｘ＝３ｙ
２と３は互いに素な自然数であるから、
任意の自然数ｋを用いて、
ｘ＝３ｋ ･･･③
ｙ＝２ｋ ･･･④
と表せる。
③を①に、または④を②に代入して、
５Ｎ＝３６ｋ＋２
５(Ｎ－６ｋ)－６ｋ＝２ ･･･⑤
ここで、⑤の特殊解の一つとして、
Ｎ－６ｋ＝４
ｋ＝３
が考えられる。
このとき、
５･４－６･３＝２ ･･･⑥
⑤と⑥の辺々を引いて、
５(Ｎ－６ｋ－４)－６(ｋ－３)＝０
５(Ｎ－６ｋ－４)＝６(ｋ－３)
５と６は互いに素な自然数だから、
任意の整数ｍを用いて、
Ｎ－６ｋ－４＝６ｍ
ｋ－３＝５ｍ
と表せる。
これを解いて、
ｋ＝５ｍ＋３
Ｎ＝３６ｍ＋２２ ･･･⑦
ここで、ｋは自然数だから、
ｍ＝０, １, ２, ３, ...
この条件を⑦に当てはめて、元の自然数を考えると、
５Ｎ＝１８０ｍ＋１１０
より、順に条件を試し、
ｍ＝０で５Ｎ＝１１０が適当であると分かる。
よって、求める自然数は１１０
丁寧に本当にありがとうございました！
助かりました(*•̀ᴗ•́*)و ̑̑
改めて見直すと何か無駄なことをしているような気もしますが💧
１２と１８の最小公倍数が３６で、３６の倍数に２を加えたものが５の倍数にもなるような最小の自然数を探す
というのが、基本的な方針になります。