Question

ひな

(5)、(6)番が分からなくて困ってます😓
答えは(5)が 116 、(6)が (A,B)=(9,108),(27,36) です🙌🏻
解説お願いします🙏🏻

(⑤) 12 でわると8 余り, 15 でわると 11 余る 3けたの自然数のうち, もっとも小さい自然
数を求めよ。

⑥ 2 つの自然数A, B (AくB) がある。その最大公約数が 9 最小公倍数が 108 のとき,
2 つの自然数A, Bの組をすべて求めよ。

Answer 1

ブドウくん

12で割ると8余る数は12k+8
15で割ると11余る数は15l+11
と表せます。
このとき3桁になるためにはkは8より大きく、lは6より大きくないといけません。
12k+8=15l+11
12k-15l=3
4k=5l+1となります。
l=6から順に代入します。
l=6→kは整数にならない
l=7→k=9
よってどちらかに代入すれば116になります。

最大公約数より2つは9の倍数であることがわかります。ここで、108=2^2×3^3です。よって考えられる組み合わせは3^2を除くと残りは2,2,3になります。また、2つともが9以外の他の倍数である場合、それが最大公約数になってしまうので、それを踏まえると3^2以外で被りはあってはいけません。
例えば
3^2×2
3^2×2×3
のようにしてしまうと最大公約数は3^2×2になってしまうので❌です。
したがって、
3^2
3^2×2^2×3
か
3^2×2×2
3^2×3
しかあり得ません。