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00
うな定
本 80.84
基本例
例題
87 座標を利用した証明(2)
| △ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針 . 123 基本例題 74と同じように, 計算がらくになる工夫をする。
139
0000
・基本 74
えない。
。
直線 BC をx軸に,辺BCの垂直
二等分線をy軸にとり, △ABC
の頂点の座標を次のようにおく。
座標の工夫
① 座標に0を多く含む ② 対称に点をとる
この例題では、各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分
数が現れないように, A(2a,26), B(-2c, 0), C(2c, 0) と設定する。
なお,本間は三角形の外心の存在の座標を利用した証明にあたる。
∠Aを最大角としても一般性を失
わない。このとき,∠B <90°
解答
∠C <90° である。
ya
注意 間違った座標設定
A(2a, 2b)
例えば,A(0,b),B(c, 0),
C-c, 0) では,△ABC
3
N
M
K
B
C
-2c OL
2cx
二, 起
ただし
A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
a≧0,6>0,c>0
は二等辺三角形で,特別な
三角形しか表さない。
座標を設定するときは,
一般性を失わないように
しなければならない。
章
13
また,∠B90°, ∠C <90° から, a=c, aキーcである。
更に,辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL,M,Nとす
ると,L(0,0),M(a+c, b), N(a-c, b)と表される。
辺 AB の垂直二等分線の傾きをm とすると, 直線 AB の
証明に直線の方程式を使
用するから, (分母) = 0
とならないように,この
条件を記している。
AMEE (S)
0-26
b
-2c-2a a+c
1 直線の方程式、2直線の関係
傾きは
b
atc
であるから, mo
b
atc
=-1より
交
を
a+c
m=-
よって,辺ABの垂直二等分線の方程式は
点N (a-c, b) を通り,
Ab
atc
y-b=-9 (x-a+c)
a+c
傾き
の直線。
b
曲82(金
すなわち
atc
a+b2-2
y=-.
-x+
b
-c とおいて
y=--
辺 ACの垂直二等分線の方程式は、 ①でcの代わりに
a-c a+b2-c
b
b
辺ACの垂直二等分線
-x+
・・・・・
(2)
は,傾き
の直線
2直線 ①②の交点をK とすると, 1, ② y切片はと
a²+b²-c²
もに
であるから K0 +80-
a2+b2-c
b
点Kは, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
b
a-c
ACに垂直で, 点
M(a+c, b) を通るから,
①でcの代わりに-c
とおくと,その方程式が
得られる。
練習 △ABCの3つの頂点から, それぞれの対辺またはその延長に下ろした垂線は1点
② 87
で交わることを証明せよ (この3つの垂線が交わる点を,三角形の垂心という)。
