写真のマーカーで囲った部分の式変形がよくわかりません。部分分数分解…？ですか？1/4を不定積分の外に出しているのはわかりますが、中に残るのは、 t+1/t^4 のはずで、それがどうやって 1/t^3+1/t^4 に変わったのかが理解できません。

(3) 2x-1=t とおくと -1 である x (2x-1)4 t+1 t+1 x== 9 2 x= 1 (1 t dx= 1 dx=dtm 2 1 ½ dt = 1/1 S ( 1/3 + 1/1 ) dt +4 2 t4 =+=+=+(-5-5)+c ¥200 1 t-2 3 +C 4 2 1 6x-1 Sx 2413 (3t+2)+C=- 24(2x-1)³ (+1)ac +C

なぜx^3の係数は正であると言えるのでしょうか。

重号 例題2093 次関数の極大値と極小値の差 325 00000 関数f(x)=x3-6x²+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき, 定数αの 値を求めよ。 基本208 指針 前ページの例題と同じ方針で進める。 x=αで極大値, x=Bで極小値をとるとすると 解答 極大値と極小値の差が4f(α)-f(B)=4 f(a),f(B) を実際に求めるのは面倒なので,f(α)-f(B) を α-B, α+B, αB で表し, 更に(α-B)2=(x+B)2-40β を利用することで, α+B, aBのみで表すことができる。 f'(x)=3x2-12x+3a f(x)は極大値と極小値をとるから, 2次方程式(x) = 0 すな わち3x2-12x+3a=0 ...... ①は異なる2つの実数解 α,β D>0 今回は差を考えるので, 4-a>0 (α<β)をもつ。 よって、①の判別式をDとすると た D=(-6)-3-(3a)=9(4-α) であるから したがって a<4 ② f(x)のxの係数が正であるから, f(x) はx=αで極大, x=β で極小となる。 f(a)-f(B)=(3-β3) -6(α2-B2)+3a(α-β) 136. =(a-B){ (a2+αβ+β2)-6(a+B)+3a} =(α-B)((a+B)²-aß-6(a+B)+3a) ① で, 解と係数の関係よりα+β=4, ab=a よって (a-B)²=(α+B)2-4aß=4-4・a=4(4-α) a<βより, α-β<0であるから α-β=-2√4-a ゆえに f(a)-f(B)=-2√4-a (4-a-6・4+3a) 2/4-a{-2(4-a)} =4(√4-a)3 f(a)-f(B)=4であるから 4(√4-a)=4 α <βと定める。 x f'(x) + (x) a B 0 - 0 + 大 極小> 3次関数が極値をもつとき 極大値> 極小値 < ② から 4-α>0 よって <4-a>0 61 3 44-a=(√4-a)2 <4-a=1の両辺を2乗 て解く。 すなわち (v4-a)=1 よって √4-a=1 実の ゆえに, 4-α=1から a=3 これは②を満たす。 検討 f(a)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 ← ((R)=(x)dx=S,3(xa)(x-B)dx=31-1/2 (a-B) p.352 基本例題2 =(-a) となる。 の公式を利用。

左下の方のlimx→+0f'(x)=-∞って調べる意味ありますか？調べないでそのままf'(1/2k)が0以下でもいいですか？

262 第4章 微分法の応用 Think **** 例題122 極値をもたない条件 大 kは正の定数とする. 関数 f(x)=xlogxkx2 が極値をもたないとき 注〉 logx +1-2kx=0 より log x +1=2kx...① とおく. 定数kの値の範囲を求めよ. [考え方 関数 y=f(x) が極値をもたない (単調増加 (減少))ことを調べるには、次のことを考 えるとよい . f(a) =0を満たす または ・f(a)=0を満たす ラフの動画の著 3 いろいろな応用 g(x)=logx+1 とおき, y=g(x) と y=2kx (k>0) のグラフで考え. 例題122の考え方の2つの観点を次のように考えることもできる f'(x)=logx+1-2kx=0 となるxの値(x>0) が. 存在しないかただ1つ存在する 場合を考える. が存在するが、x=aの前後の符号は正(負) が存在せず、つねに f'(x)>0 (f'(x) <0) このことより、f'(x)の符号を調べなければいけないが,f(x)では調べにくい場合が ある.このようなときは, f'(x) の符号を調べて、f'(x) の増減を調べる。 wwwwwww g(x)=1/1 ~ であるから, 曲線 y=g(x) 上の点(a loga+1) に y 解答 定義域は, x>0 y=2kx 真数条件 y=x f'(x)=logx+1-2kx <おける接線の方程式は, f(x) が極値をもたないのは, x>0でf'(x) の符号に変 化がないときであるから, f'(x) の符号より,f'(x)の増 減を調べる. このままではf'(x) の符号が調べにくい。 Jy (loga +1)=- 1)=1/(x- (x-a) y=g(x f'(x)の定義域は, x>0 f(x)=1-2k X すなわち, y=-x+loga この直線が原点 (0.0)を通るとき loga=0 a=1 1 f" (x) =0 とすると, x= 2k したがって,このときの直線は, y=x したがって、f'(x)の増減表は次のようになる. X 0 ... 12 ①が,x>0で解をもたないか、ただ1つの解だけを もつための条件は, 2k 傾きが1以上のとき 題意を満たす. 2k≥1 f" (x) + 0 \f'(x) f'(x) の増減を調べ るので, よって、1 2k f'(x) f(x)となる。 121 f(x)が極値をもたない. れば、つねに f(x) ≧0となり、 ここで、imf(x)=-∞であるから、(1)SOであ このように、関数のグラフなどを用いると、 考えやすい場合もある。 \2k (D したがって, f(12/16) = 10g // +1-2k. 10 1 f' (a)=0を満たす つねにf (a) 20より、 2k 1 2k -log2k x=が存在するが -log 2k≤0 log2k≥0 2k≥1 x = の前後の符号は 負である. 0=log1

解方を教えてください。どう考えても理解出来なくて、ごめんなさい。

523 次の関数を微分せよ。 x (1)* f(x) = * (6t² + t−2) dt x (2) f(x) = 2x²+3x- - L (t²-4t)dt 0

答えは-1/3です。何度も自分の計算を見たのですが、どこが違うか見つけられません。見つけてくださいお願いします。

0 S*x √1−x² dx a 2

数学Ⅲ 積分法の問題です この問題の答えが6π^2なのですが答えが合わず、どこで間違ってるのかがわからないので教えて欲しいです🙇‍♂️

.2 □318楕円+(y-1)2=1 を,x軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを 9 求めよ。 教 p.173 応用例題29 ATE

丸で囲んであるところについて。何故等号を外すことができるのかわからないので教えて欲しいです。

log(n+1)<1+ 1 2 重要 例題 170 数列の和の不等式の証明 (定 nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。 1 n +1/+ +...+ <logn+1 基本 165 169 演習 175 ② 13 指針 数列の和 1+1/+1/+ + n は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借 りる。 すなわち, 曲線 y= = 式を証明する。 の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して不等 3 1 - 自然数んに対して, k≦x≦k+1 y y= X 解答のとき 1 1 k+1 x 1/ I 1F k 式ア = k+1 x 常に21-1/2 または 1/12 1/ y = x k +1 dx 1 ④1 ではないから k\ I ck+1 dx Ck+1dx Ck+1dx 0123… fn n-1 n+1 x 1 k+1 k k+1 Jk x k 0 k k+1 よって 1 k+1 Aから Ck+1dx 1 < x k YA y= 1 1x < ☐ 1 I 式 ●k+1dx k x n S k=1Jk ck+1 k+1dx x < n k=1 n+1 B [n+1 * S*** dx =S** dx = [logx]*** k=1Jk x であるから x =log(n+1) 10g(n+1)<1+1/+1/3 0 123.n 50<0″ n-1 1 ① ck+1dx n-1 n n_1k+1 dx Cから ① k+1 x R=1k+1 k=1Jk x n-1ck+1dx dx x Sax=10gx = 10gnであるから [10gx]- 12 1 + 3 この不等式の両辺に1を加えて 2 1+1/+1 1 + + 3 =1,2,…, n として辺々を加える。 ●S+S2 n+1 n+1 +...+' k=1,2,…, n-1 として辺々を加える。 1 +......+ <logn <logn+1 n ④1 よって,①,② から, n≧2のとき 10g(n+1)<1+ 次の不等式を証明せよ。 ただし, は自然数とする。 70 (1)1+2/+//+ 22 ....+. 32 n <2-1 (n + 2 213 ② +......+ 1 n H <logn+1 [ (2) お茶の水大]

この問題の解き方がわかりません。過程も含めて教えて欲しいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

【1】 a を正の定数とする.曲線y = acosx g軸で囲まれた部分の面積が1のとき, である。 a x と曲線 y= sinx と 2

154 a＝1の時はなぜ二つ目の場合わけにふくめるんですか

11 積分法 1 〈絶対値を含む関数の定積分〉 場合分けをして、絶対値をはずす。 x-ax=x(x-a) [1] 40 のとき Sjxax|dx=S(x-ax)dx = =-2+1/3 a 0 x _Q1 よって 1-111-11101 3 ゆえに a=0 これは a≦0を満たす。 [2] 0 <a≦1のとき y+ Solx-ax|dx --(x²-ax))dx+(x-ax)dx ++ 3 --+ 1 a³ a よって 32 3 ゆえに (√2-√3) (√2+√3)=0 √√√3 よって a=0, ±- v2 これらは,0<a ≦1 を満たさないので、不適。 [3] α >1のとき Six-ax|dx=S(-(x2-ax)}dx y+ 0 a 1x 0 1 a x よって 12/21/13-1/12/2 a 4 ゆえに これは α>1を満たす。 4 [1]~[3]から a=0, 3 数学 Date 40 法 11 積分法 A 154.〈絶対値を含む関数の定積分) 9/14× 等式 Sx-axdx=1/3を満たす実数αをすべて求めよ。 [19 155.〈定積分で表された関数> ( (1) 関数f(x)はf(x)=' = S' x² ƒ (t) dt + S', xf (t) dt +1+S,f(t)dt = 亜 Sof(t)dt=", Sf(t)at="S,f(t)dt="□ 会 (2) 次の関係式を満たす定数 αおよび関数g(x) を求めよ。 ${g(t)+tg(a)}dt=x-2x-3 156. 〈定積分で表された2つの関数 > 関数f(x), g(x) は,次の(A), (B) を満たすとする。 [] (A)f(x)=x+2f,g(t)dt (B)g(x)=f(x)+ff(t)dt (1) 導関数f'(x)をg(x) を用いて表せ。 [13 福島大 (2) 関数f(x), g(x) を求めよ。 必解 157.〈定積分で表された関数の極値、最小値〉 (1) 実数xに対してf(x)= =S(+t)dt とするとき,f(x)の種 である。 [19 立教大 社会, コミ (2)pg を定数とする。定積分(x+bx-g)2dxは,p= 値をとる。

数学Ⅲ 積分法の問題です 下線部の式がどのようにして出てくるのかわからないので教えてほしいです🙇‍♂️

研究例題 51 媒介変数表示された曲線と面積 媒介変数によって表された曲線 x=-212+3t, y=sinzt (0≦t≦1)と x軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 dx dy 考え方 の符号を調べることにより, 曲線の概形を調べる。 dt' dt dy -4t+3, =πCOSπt より, dx dt t 0 dt dx dt x dy dt y 0 0 + →→ + ← |1|2| + 1 0 1 (x, y) (0, 0) 7 (1, 1) + ↑ - -> ↓ 98 曲線の概形は右の図のようになる。 3-409-8-22 I - ← - I -> 1 YA √2 2 t= 34 12 0 yi -Y2 √2 , (1, 0) 0t=0 19 198 x osts 2 のとき y=y, osts のとき y=y とすると, 3 ≦t≦1 4 y1 dx=(-4t+3)dt 9 S= S-S*vidx-Syzdx ← 0x t 0 9|8|3|4 →→ =(sinzt)(-4t+3)dt-fi (sinzt)(-4t+3)dt =(sinzt)(-4t+3)dt+S』(sinzt)(-4t+3)dt -S(sinzt)(-4t+3)dt=-4Ştsinxtdt+3S,sinntdt Y2 x 1 -> t 1 →→ ここで, Sitsinntate=S(12coszt) dt-1-1/2 cos to +1/2 S.cos rtdt 20 π 1 + sinлt π 10 π また, *. Ssinat dt-cost] = 2 COS 0 π よって, S=-4. -4.1+3 2 2 π πC π π πt π 1983-4 008