Question

ramen

丸で囲んであるところについて。何故等号を外すことができるのかわからないので教えて欲しいです。

log(n+1)<1+
1
2
重要 例題 170 数列の和の不等式の証明 (定
nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
1
n
+1/+
+...+
<logn+1
基本 165 169 演習 175
② 13
指針 数列の和 1+1/+1/+
+
n
は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借
りる。
すなわち, 曲線 y=
=
式を証明する。
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して不等
3 1 -
自然数んに対して, k≦x≦k+1
y
y=
X
解答のとき
1
1
k+1
x
1/
I
1F
k
式ア
=
k+1 x
常に21-1/2 または 1/12 1/
y
=
x
k
+1 dx
1
④1
ではないから
k\
I
ck+1 dx Ck+1dx
Ck+1dx
0123… fn
n-1 n+1
x
1
k+1
k
k+1 Jk x
k
0
k
k+1
よって
1
k+1
Aから
Ck+1dx 1
<
x
k
YA
y=
1
1x
<
☐ 1
I
式
●k+1dx
k
x
n
S
k=1Jk
ck+1
k+1dx
x
<
n
k=1
n+1 B
[n+1
* S*** dx =S** dx = [logx]***
k=1Jk x
であるから
x
=log(n+1)
10g(n+1)<1+1/+1/3
0 123.n
50<0″
n-1
1
①
ck+1dx
n-1
n
n_1k+1 dx
Cから
①
k+1
x
R=1k+1
k=1Jk
x
n-1ck+1dx
dx
x
Sax=10gx = 10gnであるから
[10gx]-
12
1
+
3
この不等式の両辺に1を加えて
2
1+1/+1
1
+
+
3
=1,2,…, n
として辺々を加える。
●S+S2
n+1
n+1
+...+'
k=1,2,…, n-1
として辺々を加える。
1
+......+ <logn
<logn+1
n
④1
よって,①,② から, n≧2のとき 10g(n+1)<1+
次の不等式を証明せよ。 ただし, は自然数とする。
70
(1)1+2/+//+
22
....+.
32
n
<2-1
(n
+
2
213
②
+......+
1
n
H
<logn+1
[ (2) お茶の水大]

数学ⅲ