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例題 39 合成関数
(日)
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(1) f(x) =3x+1,g(x) =2x2-2,h(x)=-
2
のとき,次の合成関数
x-1
を求めよ.
(ア) (f°g)(x)
(イ) ((f°g)h) (x)
(2) 関数f(x)=x+2, g(x)=3x-4 がある. (hf) (x)=g(x)となる関
数h(x) を求めよ.
考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう。
(1) (イ) ((f°g)。h) (x)は,f°g=F と考えると,
(Foh)(x)=F(h(x)) となる.
(2) y=f(x)とおいて,yを上手く利用する.
(2)
h?
つまり、 (hof)(x)=h(f(x))=h(y) となる.
(または,右のようにf(x)の逆関数f-' ( x )
を用いて考えてもよい
140
S
gof
h?
COO
g
解答
(1) () (f°g)(x)=f(g(x))=f(2x2-2)
=3(2x-2)+1=6x²-5
(イ) ((f°g)h) (x)= (f°g)(h(x))
201 24_
=(f°g)(21)=(x-1)-5=(x-1) -5
(2)y=f(x)とおくと, (hof) (x)=h(f(x))=h(y)
したがって,(hof) (x)=g(x)より、
gly (S)
(f°g)(x) は(ア)の結
果を利用する.
01
y=f(x)とおいて
まずん(y) を求める.
(y)=g(x)=3x-4.・・ ①
1
また,y=f(x)=x+2 より x=y-2
h(y) を xの式で表
す。
これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10
よって, h(x)=3x-10
(別解) f(x)=x+2 より, f'(x)=x-2
0<
X
(hof) (x)=g(x)より,
h(x)=(gof-1)(x)=g(f-'(x))
=3(x-2)-4=3x-10
の
hy→3y-10
より,yにx を代入
すればん(x)が求まる。
y=x +2 とすると,
x=y-2より,
f'(x)=x-2
