別の方の書かれてる通りです。
以下、参考です。
ベストアンサーはその方へどうぞ。
90x ＋ 40y ＋ 30z ＝ 360 の負でない整数解の組み合わせは、全部で 11通り です。
まず、式をシンプルにするために両辺を 10 で割ります。
9x ＋ 4y ＋ 3z ＝ 36
x, y, z は 0 以上の整数なので、係数の最も大きい x の値で場合分けして考えます。
（3z と 36 は 3 の倍数なので、 4y も 3 の倍数になる、つまり y が 3 の倍数になる点に着目します）
x ＝ 0 のとき
式は 4y ＋ 3z ＝ 36 となります。
3z と 36 は 3 の倍数なので、4y も 3 の倍数（＝ y は 3 の倍数）になります。
・(y, z) ＝ (0, 12), (3, 8), (6, 4), (9, 0)
・計 4通り
x ＝ 1 のとき
式は 4y ＋ 3z ＝ 27 となります。
3z と 27 は 3 の倍数なので、4y も 3 の倍数（＝ y は 3 の倍数）になります。
・(y, z) ＝ (0, 9), (3, 5), (6, 1)
・計 3通り
x ＝ 2 のとき
式は 4y ＋ 3z ＝ 18 となります。
3z と 18 は 3 の倍数なので、4y も 3 の倍数（＝ y は 3 の倍数）になります。
・(y, z) ＝ (0, 6), (3, 2)
・計 2通り
x ＝ 3 のとき
式は 4y ＋ 3z ＝ 9 となります。
3z と 9 は 3 の倍数なので、4y も 3 の倍数（＝ y は 3 の倍数）になります。
・(y, z) ＝ (0, 3)
・計 1通り
x ＝ 4 のとき
式は 4y ＋ 3z ＝ 0 となります。
・(y, z) ＝ (0, 0)
・計 1通り
【合計】
4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 11通り
