xやyの変域の条件を式から見つけて、作るのが苦手です。何が良い方法はないでしょうか？？ この問題で言うと、y^2≧0 からxの範囲を定めるところ等です。

重要 例題 104 条件つきの最大・最小 (2) 文 00000 xyがx+2y=1 を満たすとき,2x+3yPの最大値と最小値を求めよ。 CHART & THINKING 条件の式 文字を減らす方針でいく 変域にも注意 p.124 重要例題 72 は条件式が1次式であったが, 2次式の場合も方針は同じ。 条件式を利用して,文字を減らす方針でいく。 このとき,次の2点に注意しよう。 [1] x, yのどちらを消去したらよいか? 重要 72 →2x+3y2のxは1次,yは2次である。x+2y=1から2=(xの式)としてyを消 L2次 去する。 [2] 残った文字の変域はどうなるか? 2次↑ 問題文にはx,yの変域が与えられていないが, (実数) 2≧0 を利用すると,消去する yの変域 (y'≧0) からxの変域がわかる。 解答 x+2y=1からy=1/2(1-x)・・・① 41 ←を消去する。 y2≧0 であるから 1x20 すなわち x²-1≤0 (x+1)(x-1)≦0 から -1≤x≤1 ...... 2 よって 2x+3y2=2x+2/22 (1-x2)=1/2x2+2x+ 3 ◆消去する文字の条件 (2≧0) を,残る文字 の条件(-1≦x≦1) にお き換える。 [s] 0 2 13 x- + 2 3 6 13f(x) 基本形に変形。 6 この式を f(x) とすると, ② の範囲で 20 -3x²+2x+3/23 21 f(x)はx=/2/23 で最大値 13 6 11 1 0 3 3 x=-1 で最小値 -2 12-3 X 1 == をとる。 また, ①から -2 5 x=1/3のとき y=1/2(1-1) - 18 +9 √10 -- 3 √(x-2)² + 13 よって y=± 6 x=-1 のとき y2=0 よって y=0 したがって (x, y) = (1/3, √10 13 土 で最大値 6 6 (x, y)=(-1, 0) で最小値 -2 ink 設問で要求されてい なくても,最大値・最小値 を与えるxyの値は示し ておくようにしよう。

8P2(青いマーカー)が何を表しているのかがわかりませんあせ

す操作 が出る 散を求 2章 7 日本 例題 61 13桁の数を作る。 回出 1から9までの数字が書かれている9枚のカードから3枚のカードを抜き出 レ (1) (2) して並べ、 各桁の数の和の期待値を求めよ。 3桁の数の期待値を求めよ。 CHART & THINKING ○桁の数の期待値 各桁の数を確率変数とみる [類 神戸女学院大 ] p.438 基本事項 2| +, 百の位の数をそれぞれ X1,X2, X3 とすると, X1, X2, X3 は確率変数。 うに表すことができるだろうか? (1) 「各桁の数の和」 も, (2) 「3桁の数」 も確率変数である。 X1,X2, X3 を用いて,どのよ 考えよう。 求める期待値はそのまま計算するのは大変。 前の例題で学んだ期待値の性質を使うことを 事項 2 0 一の位、十の位,百の位の数をそれぞれX1,X2, X3 とする。 このとき, X1,X2, X3 の確率分布は次の式で表される。 回 ら, P(X=k)=P(X=k)=P(X=k) ( 6 は同 1 a P(X= (k=1,2,…, 9) 9P3 9 100 (1)X1,X2, X3 の期待値は E(X)=E(X2)=F(X)=210-11/9・10=5 k=1 k=n(n+1) k=1 期待値の性質。 -- 期待値の性質。 よって、 求める期待値は 20 E(X1+X2+X3)=E(Xi)+E(X2)+E(X3) =3.5=15 (100 0 (2) 3桁の数は X +10X2+100X3 と表されるから, 3200100- E(X1+10X2+100X3)=E(Xi)+10E (X2)+100E (X3) 求める期待値は ゆえに =(1+10+100)・5=555 =20 を代入して R=16 確率変数の和と積, 二項分布 PRACTICE 61 3 1から9までの番号を書いた9枚のカードがある。この中から,カードを戻さずに, 次々と4枚のカードを取り出す。 こうして得られたカードの番号を,取り出された順 に a,b,c,d とする。 (1)積 abcd が偶数となる確率を求めよ。西人が自 (2)千の位をα百の位をb, 十の位をc,一の位をdとおいて得られる4桁の数 N の期待値を求めよ。 (X) b

最大、最小の問題についての質問です。紫のアンダーラインを引いたところにxは実数よりとあるのですが、xは実数とは問題分のどこにも書いていない気がします。どこからこれが出てきたんでしょうか？

Focus 106 第2章 高次方程式 Think 例題 49 判別式による最大・最小 **** x-1 x2+3 の最大値、最小値と,そのときのxの値を求めよ. 考え方 与えられた式を「=k」 とおき 式を整理する。 (次ページ 「Story」 参照 ) xが実数である条件から、判別式 D≧0 を利用して, のとる値の範囲を考える. なお、式を整理した後(i) = 0.) k0 で場合分けをする。 解答 x-1 =k とおく x2+3 (整理した式は2次方程式とは限らない) まずは,「=」と < +30より両辺に+3 を掛けて, x-1=k(x2+3) kx2-x+3k+1=0 ...... ① (i) k=0 のとき 今の 2次方程 とは限らない . x+1=0 より x=1 (i) = 0 のとき xは実数より 2次方程式 ① は実数解をもつ. よって、 2次方程式①の判別式をDとすると, D≧0 D=(-1)2-4k(3k+1) 86=-12k²-4k+1 したがって, -12k2-4k+1≧0 D≧0 となり, ①が 実数解をもつんの値 の範囲を求める。 12k²+4k-1≦0 (2k+1)(6k-1)≦0 k=1/2のときより、x= =3 2k 1 2k よって, 最大値1/(x=3のとき) *0.-≤k≤ (k=0) したがって、(i), (i)より、12ks/ k=-1/2 のとき,①より、x= -=-1 kの値の範囲より、 最大値,最小値を求 める. k=- 1のとき. 2'6 D=0 より ①は重 解をもつ. 最小値 12 (x=-1 のとき) ax+bx+c=0(aq=0) b 重解はx=- 20 (与えられた式) xが実数であることから, とおき, 判別式 D≧0 を利用する 練習 2(x-1) 49 **** -2x+2 の最大値、最小値と,そのときのxの値を求めよ.

高次方程式に関して、紫で囲ったところについての質問です。まず、各項とも3次以上であると書かれているのですが、項は一つしかないと思います。どれらの項のことを各項と言っているのですか？また2次以下の項の係数を比較してとあるのですが、三次以上の項を無視できるのは、②の式がt(x)... Read More

116 第2章 高次方程式 Think 例題 54 剰余の定理(2) [考え方 解答 **** (1)nを3以上の自然数とする.x" -1 を (x-1)3で割ったときの余り を求めよ. (2)x2+x15 +1 を x+1で割ったときの余りを求めよ. (1)x1=(x-1) Q(x)+ax²+bx+c このままでは何もできないので,x-1 が式変形でき ないか考える(x-1) に着目して, x-1 =t とおく x1 =t とおくと, 二項定理が利用できる. (二項定理については, p.21参照) (2)x=iで x2+1=0 となる. 実数係数の多項式の割り算での余りは実数係数の多 式である。 (1)3次式(x-1)で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは 2次以下の多項式であるから、余りはax+bx+c とおける よって、 (t+1)-1=fQ(t+1)+α(t+1)+6(t+1)+c ...... ② 3次式で割るの で、余りは2次 以下の多項 解 Comme 1の の解で つまり この とす x-1 =t とおくと, x=t+1 より ①は, x-1=(x-1)2Q(x)+ax²+bx+c ②の左辺に二項定理を利用すると, (左辺)=,Cat+mCt' "Cat+„Caf'+nCit+"Co-1 =,Cat*+,C, "'++,Cf+n(n-1)t 2+nt ③ 2 C22 C=n n(n-1) n Co=1 また、②の(右辺)=Q(++1)+of+ (2a+b)t+a+b+c 多項式・Q(t+1)は各項とも3次以上である. ③④の2次以下の項の係数を比較して, ④4) とな a n(n-1) a= 2a+b=n,a+b+c=0 2 これらから a=- _n(n-1) b=-(n-2n),c=- n2-3n 余りは2次以 なので2次以下 の項のみに着目 する。 れる d 2 2 練習 よって, 求める余りは, n(n-1)x-(n²-2n)x+ 2 n²-3n 2 (2)2次式x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとおく . x2 + x15+1=(x2+1)Q(x)+ax + b(a,bは実数) が成り立つ. これは恒等式であるから,両辺に x=i を代入すると, 1+1+1=(i+1)Q(i) + ai + b ... ① i=-1,=(i) =1, i=(i).i=-i より ① は, 2-i=b+ai となる. a b は実数であるから, よって、求める余りは, 注)微分法(第6章) を学習すると *** (6) *****, 54 **** a=-1,b=2 x+2 余りは1次以下 の多項式 =√-1 複素数の相等よ り 辺を微分した式も恒等式であることから,a,b,cの値を容易に求められる. xの恒等式 x-1=(x-1)Q(x)+ax²+bx+cの両 (1)を2以上の自然数とする.x" を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。 (2)2x'+x+1 を (x+1)(x-1)で割ったときの余りを求めよ. を

二次関数についての質問です。⑸で何故D>０の条件が書かれていないのか分かりません。⑶で不必要な理由はわかりますが、何故⑸でも不必要なのでしょうか？

104 第2章 高次方程式 Think 例題 48 2次方程式の解の存在範囲 **** 大阪届いての2次方程式」がどのような異なる2つ (3) 異符号(1つが正で,他が負) の実数解をもつとき、定数りの値の範囲を求めよ。ただし、わは実数とする。 (1) ともに正 (2)ともに (4) ともに1より大きい (5) 1つは1より大きく、他は1より小さい 考え方 2次方程式の異なる2つの実数解 α β について, (1)α,βがともに正⇔D>0, α+3>0.3>0 (2)α,βがともに負⇔D>0.α+β<0,aβ>0 ⇒ aβ<0 α β 符号 (3) (4) α. βがともに1より大きい⇔D>0 (α-1)+(β-1)>0, (α-1) (3-1)>0 (5) αβのうち、1つは1より大きく, 他は1より小さい 解答 x-2px+p+6=0の解を α β とする. α+β=2p, aβ=p+6 解と係数の関係より [[]] A (1) 2次方程式 x 2px+p+6=0 の判別式をDとす ると,α. β は異なる2つの実数解であるから,D>0 である. p²-(p+6)=p²-p−6=(p+2)(p−3) D 4 (p+2)(3)>0より (a−1)(8-1)<0 α β は実数 a+ß>0, aß>0€ Focus より (a- (a よって 3 a. B (5) さいとき ( よって 2次方 25555 8 a, α, a, p<-2, 3<p......① あっても,α,βが実数 とならない場合(たとえ ば a=1+i, ß=1-i) があるので,D>0の条 件が必要である. a. α+β=2p>0より, >0 ② 注〉x2-2px y=x'+ aβ = p+6>0 より よって ① ② ③より, p>3 p>-6 ③ ③ (2 ① -6 -2 0 このこ 実数解 (1) α. βがともに正より,α+β>0,αB>0 3 p (2) α β は異なる2つの実数解であるから, (1) より p<-23<p ......① α βがともに負より, α+B<0.a>0 α+β=2p<0 より, 38 aẞ=p+6>0. p<0 ・・・・・・② p-6.......③ LD S よって, ① ② ③より, -6<p<-2 ③ ② +d ① -6 -20 3 p (3) αβは異符号だから. aB<0 p<-6 よって, p<-6 aβ=p+6<0 より (4)α,βは異なる2つの実数解であるから (1) より p<-2,3<p ...① αβがともに1より大きいから (-1)+(-1)>0(α-1)(3-1)>0 2-(a+β)x+αβ=0 の解は α,βで,この判 別式をDとすると aβ< 0 ならば D=(a+β)2-4a>0 となるためD>0 の条 件は必要ない。 また、 ない. βの符号は定まら (4) (00)0-320- 煉4 練習 xo ∞* *** 48 (1)

（3）の問題です。解説をみたのですが、黄色の線を引いたところです！ この4はどこから出できたのでしょうか？教えて欲しいです🙇‍♀️

重要 例題 33 同じものを含む円順列・じゅず順列 00000 ガラスでできた玉で, 赤色のものが6個, 黒色のものが2個, 透明なものが1 個ある。 玉には,中心を通って穴が開いているとする。 (1)これらを1列に並べる方法は何通りあるか。合 (2)これらを円形に並べる方法は何通りあるか。 (3) これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。 CHART & THINKING 基本18, 重要 22 (2)円形に並べるときは,1つのものを固定の考え方が有効。固定した玉以外の並び方を 考えるとき,どの玉を固定するのがよいだろうか? (3)「首輪を作る」とあるから,直ちに じゅず順列=円順列 2 でよいだろうか? すべて異なるもの なら、じゅず順列で解決するが,ここで は,同じものを含むからうまくいかない。 その理由を右の図をもとに考えてみよう。 答 000 左右対称 裏返すと同じ人 0 OL 9! 9.8.7 -=252 (通り) 同じものを含む順列。 6!2! 2.1 (1) 1列に並べる方法は (2)透明な玉1個を固定して、残り8個を並べると考えて 8! 8・7 -=28(通り) 6!2! 2.1 (3)(2)の28通りのうち,図 [1] のように 4通り [1] 左右対称になるものは よって,図[2]のように左右対称でない 円順列は 19文の [2] 赤玉6個、黒玉2個を1 列に並べる場合の数。 inf. (2) について, 解答編 p.213 にすべてのパターン の図を掲載した。 左右対称 でないものは、裏返すと一 致するものがペアで現れる ことを確認できるので参照 してほしい。 307 1章 3 組合せ 28-424 (通り) この24通りの1つ1つに対して, 裏 返すと一致するものが他に必ず1つ ずつあるから,首輪の作り方は 24 4+ =16(通り) 2 PRACTICE 330 する これらを1列に並べる方法は の下にひもを通し、

確率についての質問です。紫で囲った和が5であり、積が6である確率を、自分は一枚目の写真のように考えたのですが、この考えが間違っている理由を教えて欲しいです。1/18となるのは分かります。でも何故1/9×1/9ではダメなのか教えてほしいです。

目の和がらかつ積が6の確率 目の和がらの確率× 目の積が6の確率 よってすす 81

三角関数についての質問です。⑵の解答では2通りの場合分けだけですが、この場合-1/a<1/4の時、-1/a=1/4の時、-1/a>1/4の時の二つに場合分けするべきだと思うのですが、何故解答は2通りで成り立っているのでしょうか？

258 第4章 三角関数 Think 8/5 例題 132 三角関数の最大・最小 (1) 次の問いに答えよ. **** (1)002 のとき, y=-cos'-2sin 0-1 の最大値、最小値を 求めよ. 2 (2) 関数 y=2cos 0 -asin' (a は定数)において,000 の範囲で動くとき,yの最小値を求めよ. ただし, a<0 とする. 考え方 例題 130 (p.255) と同様に, まずは三角関数の種類を統一する. 解答 sin0 や cose をtとおくと, 関数yはtの2次式で表すことができる. 0 の範囲に注意して, tの値の範囲を考える (1) 与えられた式に cos29=1sin を代入すると, y=-(1-sin20)-2 sin 0-1 =sin20-2sin 0-2 ここで,sin=t とおくとより, -1≦t≦1であり、 y y=t2-2t-2 =(t-1)2-3 1 したがって, -1≦t≦1 において t=-1 のとき, 最大値 1 (2) 与え cos f(t)= y 立命館大改) 関炎 [上に] ま (i 文字でおくときは,そ の文字のとる値の範囲 に注意する. Co t=1 のとき, 最小値 -3 ここで, t=-1,すなわち, sin0=-1 のとき, 3 002 より.0= -π t = 1, すなわち, sin0=1のとき, 00<2より.0=7 3 よって、0= のとき, 最大値 1 2 0=1のとき,最小値-3 ・

（2） αは1の6乗根のひとつとありますがどこでそう分かりますか？6乗根のひとつはzじゃないのですか？

C2-48 (396) 第5章 複素数平面 Think 題 C2.22 単位円に内接する正多角形 複素数平面上において, 原点を中心とする半径 1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を, 左回りに Z1 Z2 Z3 Z4, 25, 26 とする. y 23 24 O また,a=cosisin とする. **** 2ドモアブルの定理 (2)(1)よりは1の6乗根の1つであり. 1, a, a, a, a, a が 2-1=0の解となるから、 z-1=(z-1)(za)(za)(za)(za)(za) (397) p. C2-38 例題 C2.19 注)参照 y4 02 a 3 このとき 次の問いに答えよ. (1) 21+2+2+2+25 +26 の値を求めよ. 2 25 (2)(1-α)(1-α)(1-α) (1-α') (1-α)=6であることを証明せよ。 考え方 Z1,Z2,Z3, 24, 25, 26 は正六角形の頂点であり,この 6点は,単位円周上の6等分点である つまり,点2」を原点のまわりにだけ回転させると、 とおける. ......② a -1 0 一方、 2-1=(z-1)(z+2+2+2+z+1)③ (人監事金) である.ここで, ② ③より. (z-1)(za)(za)(za)(za)(za) =(z-1)(2+2+2+2+2+1) であるから! (za)(za)(za)(za)(za) =2+2+2+2+z+1 となる. これは,z についての恒等式であるから, z=1 を両 辺に代入すると, a a³ 22に移る。 同様に,それぞれの点を原点O のまわりに匹 だけ回転させると, 22→Z3Z3ZZ → Z5, 2s → Z6 にそれぞれ移る+0800 (p.C2-38 例題 C2.19 注》 参照) (1-α) (1-α) (1-α) (1-α) (1-α°)=6 が成り立つ モアブルの Focus |解答 (1) Z1・・・･･, Z6 は単位円周上の6等分点である. 2π また, α=COS- +isin- は、点zを原点のまわり n www 今だけ回転させる複素数であるから, 2π a=cos +isin とすると,単位円周をn 等分する点は, n 1, α, a, α^-' と表される また, C2-49 第5章 22=Qz1 23=αz2=2z1 26=025=021 となるので, 21+2+2+2+2+26 =z₁+azi+az₁+a³z₁+a'z₁+az₁...... z-1=(z-1)(z -α) (z -α^)......(z-a-l) 注)(1-α) (1-α²) (1-α) (1-α) (1-α)=6 より 両辺の絶対値をとると. ( (1-α) (1-α) (1-α²) (1-α) (1-α)|=|1-α||1-^||1-'||1-α '||1-α| =6 と なるこの式の図形的な意味を考えてみよう. 単位円周を6等分する点を A (1) A(a), 30 ①は,初項 z1, 公比αの等比数列の初項から第6項ま での和である. 初項 Z1, 公比 α (天丸) Sale Ba (αキ1) の等比数 A2(2), As(a), A(a), As(α) とすると, 単位円の弦の長さの積 AAAA2A(A3A)AAAs=6 であることを表している. A(a) A(a) As(a³) MAD (1) 0 α≠1 より 1-a となる. ここで, よって, 21+22+2+2+25+26=21 (1-0) a²= (cos +isin 77° =cos2n+isin2π =1 *#J 21+2+2+2+25+26=0 2 (1) 1200+ 2 (6) 列の初項から第 n項までの和は, z₁(1-a") 1-a このことは,練習 C2-22 の(2)のとおり,単位円周を 等分する点についても成り立つ つまり半径1の 円に内接する正n角形の1頂点から、他の各頂点に 引いた線分の長さの積はnになる. A(a) As(a) 練習 02.22 接する正五角形の頂点を表す複素数を、左回りに21.2. *** 23.…………… とする。また a=cos 2+isin 2 とする. n n (1)+22+2s+…+2=0であることを証明せよ。 (2)(1-α) (1-α²) (1-α)・・・・(1-α"-1)=nであることを (例)証明せよ. 複素数平面上において原点を中心とする半径1の円に 22 21 -1 0 1 x 12月 B1 B2 C1 (北海道大改) p.C2-5124 G2

対数についての質問です。⑵においてm,nを正の整数と限定しているのは何故ですか？正の整数でなければ、左辺は偶数右辺は奇数にならないのですか？よろしくお願いします。

Think 914 例題171 無理数となる対数 2 対数と対数関数 339 **** log23の値を 2'=8, 3'=9,3243,2256 を利用して, 小数第 1位まで求めよ. () 10g103 が無理数であることを証明せよ. 103 の値を求めるので,対数をとるときは 底を2にするとよい . 考え方 (1) 与えられた条件を使って不等式を作る. (津田塾大改) <対数の定義> logaM=r⇔ α'=M (2)背理法を使って証明する. 有理数、無理数の定義は忘れないようにしよう。 (1)39 より 底2で両辺の対数をとると, log232=log29 を 解答 2 したがって 210g23=10g29より, 10g23= 2 したがって, 510g23=10g2243 より また,3243 より,底2で両辺の対数をとると, log235=log2243 log29 log28 log223 3log22 22 -=1.5 98 より, log23= log2243 log2256_810g22 5 5 -=1.6 5 以上より, log29>10g28 (底) >1であるから 対数を消せるように 2Dを利用する. 243 256 より, log2243<log256 1.5<logz3 <1.6 も同様 よって, 10g23の小数第1位までの値は, 1.5 m (2)10g 103 が有理数であると仮定すると, 10g103>0 だか ら,互いに素な正の整数m, n を用いて, 1.5 1.6 log23=1.5... 10が1より大き log 103= m n く、真数3が1より m とおける. 対数の定義より, 10 = 3 大きいので, log103 0 両辺を乗すると, 10m=3" ここでmnは正の整数だから, 左辺10" は偶数, 右 10 は2と53" は 辺3" は奇数となり 3しか素因数をもた の よって, 10g103 は無理数である. ない (偶数 奇数 Focus 無理数の証明 有理数と仮定して背理法 m 有理数は (m, n は互いに素) とおく n 第 5 章 練習 171 (2) 10g37 は有理数でないことを証明せよ。 (1)10g102 の値を2°512,21024 を利用して, 小数第1位まで求めよ。 (慶應義塾大) →p.34817 *** また