なぜ 4(x+y+z)=k(x+y+z) なのですか？k=4？

Think 例題26 比例式の値 x,y,z が 2(y+z)_2(z+x)_2(x+y) を満たすとき, この式の値 y を求めよ. (駒澤大) 考え方 比例式は、「た」とおく、2(y+z)=kx.2(z+x)=ky, 2(x+y)=kzからkの値を 求めればよい。 また, x=0. y=0z0 である。 -=k とおくと. 解答 X x 2(y+z)_2(z+x)_2(x+y)= y Z 2(y+z)=kx...・・・ ① 2(z+x)=ky (2) ***** Z 2(x+y)=kz③ また, x=0, y=0, z=0 である. ①+②+③ より 4(x+y+z) = k(x+y+z) だから, 4(x+y+z) - k (x+y+z) = 0 (x+y+z) (4-k) = 0 したがって, x+y+z= 0 または 4-k=0 (i) x+y+z=0 のとき, y+z=-x これを①に代入して, -2x=kx x≠0 より k=2 (ii) 4-k=0のとき k=4 このとき ①, ②,③を解くと, x=y=z これは,x=0,y0,z0 を満たすすべてのx,y, zについて成り立つ よって, (i)(i) より 求める値は, **** -2, 4 (分母) ¥0 各辺の辺々を加える。 移項して整理する. x+y+z で両辺を 割ってはいけないこ とに注意 ( この段階では x+y+z=0 の可能性がある。)

解答1のところで、「直線x=1は接線ではないので…」とありますがその理由を教えてください。

Think 例題 93 円外の点から引いた接線 (1) 点 (17) から円x2+y²=25に引いた接線の方程式を求めよ. MOL 考え方 円外の点から引いた接線は右の図のように. 2本あることに注意する. 【解答1円の中心と接線の距離が円の半径と等 しいことを利用する. 解答2 接点を(x1, yì) として,接線の公式を 利用する. 【解答3 直線と円の連立方程式を考える. |解答 1 円x2+y2=25 は,中心 (0, 0), 半径50円より 直線 x=1は接線ではないので 求める接線の傾き をmとすると, 点 (1, 7) を通るので, y-7=m(x-1) |-m+7|=5√m² +1 つまり, mx-y-m+7=0 円の中心 (0,0)と直線①の距離は,円の半径 5-y=m(x-x) |_m+7\ ___ > (x₁, y₁) ¿Ì# に等しいから. =5 √m²+(−1)² √m² + (−1)² =1[+Al 両辺を2乗すると. m²-14m +49=25(m²+1) 12m²+7m-12=0 (3m+4)(4m-3)=0 3 4/30(S)+(j-x) したがって 1(x, y) E よって,①より 4 Srir I m=- =1/3 のとき. 4x+3y-25=0点(北 m=- m=-- のとき, 3'4 =101 011=+s 3x-4y+25=0 【解答2 求める接線と円x²+y²=25の接点の座標を N DABLON 点 (x1, y1)を通り,傾きが の直線の方程式 **** 距離 ax+by+c=0 の距離は, |ax₁+by₁+c| √a² + b² -5 辺とも0以上だから,2乗 しても同値 お友里さ 接線は2本引ける. YA 1,9 半径 0 X

この問題で、どうして内角=対象の外角を証明すれば円に内接することになるのですか？ 解説よろしくお願いします

四角形が円に内接することの証明 本例題83 右の図のように、鋭角三角形 ABCの頂点AからBC に下ろした垂線をADとし, D から AB, ACに下ろ した垂線をそれぞれ DE, DF とするとき, B, C, F, 「Eは1つの円周上にあることを証明せよ。 ∠AED=∠AFD=90° であるから, 四角形AEDF は線分 AD を直径とす る円に内接する。 よって ここで 同じ円周 同じB1 ∠AFE=∠ADE ∠ABD=90°∠DAB CHART & THINKING 1つの円周上にあることの証明 (内角)=(対角の外角), (内角)+(対角)=180°を示す 4つの点が1つの円周上にあることを示すには、隠れた円をさがそう。 まず, 四角形AEDF に注目すると2つの直角があるので、 外接円が見つかる。 次に、 補助線EFを引き、四角形 BCFE が円に内接することを目指すが、 どのような定理を利用すればよいだろうか? 【解答 LATION ...... EL =90°∠DAE = ZADE ①②から ∠ABD=∠AFE したがって、四角形 BCFE が円に内接するから, 4点 B, C, F,Eは1つの円周上にある。 直角と円 A C 00000 p.388 基本事項 F の△=180 IC (内角)+(対角)=180° であることを示した。 弧AE に対する円周角。 すなわち ∠EBC=∠AFE (内角) = (対角の外角) であることを示した。 3章 円 の星 #

big →new の順番がわからなかったです。どう判断するのですか？

(7) 解答 How about buying a big new house or going on a trip to Europe? パラフレーズ1 Buying a big new house or taking a trip to Europe sounds good, don't you think? パラフレーズ2 Let's buy a large new house or take a trip to Europe. [大きな新しい家を買ったり], [ヨーロッパ旅 行に行ったりする] のはどうかしら? of) K

ここが全くわかりません💦 疑問点は写真二枚目にまとめておきました。

よう [二枠に .b. えな 重複順列 基本例題 19 00000 ただし､同じ数字を繰り返し用いてもよいものとする。」 0, 1,2,3の4種類の数字を用いて, 3桁以下の正の整数は何個作れるか。 7人を、2つの部屋 A, B に入れる方法は何通りあるか。 また,区別をし 【ない2つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし,それぞれの部屋に は少なくとも1人は入れるものとする。 CHART & THINKING 重複順列n (1) 数字を並べてできる整数 各桁の数字の条件に注目 最高位に 0 は使えないことに注意しよう。 3桁,2桁,1桁,それぞれの場合に分けて考えよう。 1234567 と A,Bの区別をなくすと (2) 区別をなくす場合 同じものは何通りあるか考える (前半)まず,空の部屋があってもよいとして,後で空になる場合を除く。 (後半) 区別をなくすと同じ入れ方になるものは,例えば,次のような2通りずつある (=「ペア」で現れる) ことに注意しよう。 A B 126÷2=63 (通り) p.279 基本事項 3 基本14 百 0 以外の 3通り B 5 6 7 1 2 3 4 解答 (1) 3桁の整数は、百の位の数字が0以外であるから 3×42=48 (個) 104 2桁の整数は3×4=12 (個), 1桁の整数は3個 よって,3桁以下の正の整数は 48+12+3=63 (個) 別解2桁の整数は百の位の数字が 0, 1桁の整数は百と十 4³ 1 の位の数字が0とすると, 3桁以下の整数は ~000 になる場合を除いて 43-163 (個) 2) 空の部屋があってもよいものとして7人を A,B の部屋 に入れると,その方法は 27128 (通り) 一方の部屋が空になる場合を除くと 128-2=126 (通り) m + 4個から重複を許し 2個取って並べる → 42通り 百の位の数字の選び方 は0以外の3通りで, 十 の位, 一の位は4種類の 数字のどれでもよい。 例えば 012 ...... 2桁の整数 12 003 ...... 1桁の整数 3 1章 異なる2個から重複を許 して7個取り出して並 べる順列の総数と同じ。 区別をなくすと, 一致す る場合がそれぞれ2通 りずつある。 2 順列

一番の問題です なぜこれだけで角BDCが90度になると分かるのですか？

基本例題 132 次のような図形の面積Sを求めよ。 (1) AB=6,BC=10, CD = 5, ∠B=∠C=60°の四角形 ABCD (2) 1辺の長さが1の正八角形 CHART & THINKING (1) まずは右のように図をかいてみよう。 多角形の面積はいくつかの三角形に分割するのが基本方針 だが,対角線AC, BD のどちらで分割するのがよいだろうか? ACで分割→ △ABCに余弦定理を用いると, 線分 AC の 長さは求められるが, △DACの面積はすぐにはわからない。 BD で分割→ △BCD は BC: CD=2:1, ∠BCD=60° に B 注目すると,∠DBCの大きさや線分BD の長さがわかる。これを利用して△ABDの面 積を求めてみよう。 (2) 正八角形の外接円の中心を通る対角線で8つの三角形に分割すればよい。 解答 (1) BCD において, BC=10, CD = 5,∠C=60°から ∠BDC = 90°, ∠DBC=30° BD=BCsin60°=5√3 ∠ABD=∠ABC-<DBC=30° △ABD において よって 求める面積は S=△BCD+ △ABD =155/3+1/6.5√3 sin 30°=20√3 60° B A 6 5√3 130° 0 30° 60° 10 O 基本131 5 60° 10 15 60%

（2）の問題ですが、⑴で出た答え以外。として、答えを出すのは不十分なのでしょうか。

.28 第2章 高次方程式 Think 例題64 3次方程式と実数解 αを実数の定数とする. 3次方程式x+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0 について 次の問いに答えよ. (1) 重解をもつように,定数aの値を定め、そのときの重解を求めよ、 (2) 異なる3つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ [考え方 まずは、次数の最も低いα について整理し、3 *) 0 xの1次式)×(xの2次式) P(x) はーー 252310 の形に因数分解する. (1) 2次方程式の解が, 1次方程式の解を含む」場合と,2次方程式が重解をい (2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式 場合の2通りが考えられる. x)/(E を含まない場合である. Pk8- 解答 (1) f(x)=x2+(a-1)x+(a−3)x-2a+3 と する. J+x81- a について整理すると,z+ f(x)=x2+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3 =(x²+x-2)a+x³-x²-3x +3 =(x-1){(x+2)a+x°-3} =(x-1)(x2+ax+2a-3) -3(x-1) より, f(x) は x-1 を因数に 1枚分解平は もつ. ご教の低い文字で//=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)^-1d0+(a-3)・1-2a+3 これを利用して因数分解して よい. 「組立除法 (+508 +S) 11 a-1a-3-2a+3 a 20-3 f(x)=0 とすると, x-1=0 または x2+ax+2a-3=0 したがって, f(x)=0が重解をもつのは, 次の2通りの場合である。 (i)x+ax+2a-3=0 が x=1 を解 にもつ (i)x+ax+2a-3=0が重解をもつ (i)のとき,x=1 が解であるから 1'+α・1+2a-3=0 より, a=- 2014 D=a²-4(2a-3)) p =a²-8a+12 =(a-2)(a-6) したがって £), a=2, 6 重解はx=-- 32 (Ⅱ) のとき、x2+ax+2a-3=0 の判別式を Dとすると、重解をもつので、D=0である。 77 (-2)(46)=0 a 2 より, 次数の低い文字で整理して a a=2のとき a=6のとき, 数分解する. f(1)=13+(a-1)・12 x=-1 x=-3 ²SC 1 IS-₂0 1=5 1&V+S=x1 1 a -dp4 x=1 が重解 残りの解は、 2 84-206 (x-1)x+ 5000+ - 0 を解いて 3 20-1 +8 √(x + 3) = 18-9085 よ より、メー り (S=4510082 0=0 10 (+S) 3010 max²+bx+c=0 ( a = 0) 4th b をもつとき、x=- 2a のの重解を求める。 a=2,a=6のそれぞ

数学II なぜ与式が一次式の積になる時、判別式Dが完全平方式になるのか教えてください。

102 第2章 高次方程式 Think 例題 47 2次式の因数分解 (1) 複素数の範囲で考えて、次の式を因数分解せよ. (イ) x-16 (7) 3x²-x-1 (2) x2+xy-6y2-9x+ky+20が1次式の積となるように定数kの値 を定めよ. 考え方 (1) (与式)=0」 とおき,xの2次方程式を考えると,複素数の範囲で必ず解をもつ。 (②2)まずxの2次式とみて因数分解し、これがx,yの1次式の積になると考える 別解では, 解答 「与えられた式が1次式の積で表される」 ⇒ 「( )( (1) (ア) 3²-x-1=0の解は, ___(-1)±√(-1)²-4・3・(-1) 2.3 x=- よって, の形に因数分解できる」ことから, ( 3-x-1=(x-1+13) (x_1-13) 6 したがって, x2+4=(x-2i)(x+2i) (2) xの2次方程式 2の係数3を忘れ 6 ないこと (イ)x_16=(x-4)(x+4)=(x-2)(x+2)(x+4) 32x-1=0の2 x=±2i x2+4=0の解は,x2=-4より 解を α,βとすると、 左辺は 3x-x-1 *m−(x+2)(-+^x x=- , x₁-16=(x-2)(x+2)(x−2i) (x+2i) Vs x2+(y-9)x-6y2+ky+20= 0 の判別式をDとすると,①の解は, Ex++ -(y-9)±√D_9-y±√D 1±√13 6 2 ...1 2 って、与式は, () 9-y+√D (①)(x 9-y-√D 宇都(与式)=(xーターサナ)(x-9-12D) X- と因数分解できる. D=(y-9)2-4・1・(-6y²+ky +20) したがって, 4(k+7)(k+2)=0 よって, k=-7, -2 **** yについての2次方程式 25y²-2(9+2ky +1=0 の 判別式をDとすると, D1=0 である. mi D₁={-(9+2k)}²-25-1=4k²+36k+56 =4(k'+9k+14)=4(k+7)(k+2) ( )の形で表す。 =y²-18y+81+24y²-4ky-80)=(-888- =25y2-2(9+2ky +1 したがって, 与式がx,yの1次式の積になるのは、 根号の中のDがyの完全平方式であるときである。 解の公式を用いる。 S-8228 =3(x-a)(x-β) と因数分解すること ができる. yの2次式 完全平方式とは, ay-α)の形のこと 完全平方式であるか ら、重解をもつ (判別式) = 0 k-7 のとき D=(5y + 1)² k=2のとき D=(5y-1)2 注》Dがyについての2次式なので,Dをa(y-α)² と表すことができればDはyの 1次式として表すことができるので ひが (ab=20 ①F旬に代 FOCUS Ok 0 13 ar

(2)どうしてa-bに置き換えて証明できるのかわかりません 教えてください🙇‍♀️

不等式の証明 (絶対値と不等式) 本 例題 29 次の不等式を証明せよ。 (1) |a+b|≤|a|+|b| CHART & THINKING 似た問題 1 結果を使う (1) 絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 |A=A2 を利用すると,絶 対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。 (2) |a|-|6|≦|a-bl 2 方法をまねる (2) 証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから,平方の差を作る方針は手間がかかり そうである (別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると |a|≦la-61+16 ← (1) と似た形になることに着目。 ① の方針で考えられそうだが,どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? 解答 (1) (|a|+|6|-|a+b=(|a|+2|a||3|+|6)-(a+b)² =2(|abl-ab)≧0 =a²+2|ab|+62-(a²+2ab+b2) よって ...... よって la+b≤(al+|b|) ² |a+b≧0,|a|+|6|≧0であるから |a+6|≦|a|+|6| 別解 demo da -10|≧0≦|6| であるから lal≦a≦lal, 辺々を加えて -(al+161)≦a+b≧|a|+|6| |a|+|6|≧0であるから la +6|≦|a|+|6| (2) (1) の不等式の文字αを a-b におき換えて |(a−b)+b|≤la-b|+|b| p.42 基本事項 4. 基本 28 よって |a|sla-61+101 ゆえに |a|-|6|≦la-6| 別解 [1] [a|-|6|<0 すなわち |a|<|6| のとき ④の等号が成り立=2(−ab+lab)≧0 (|a|-|6|)2≦|a-6|2 4+ |a|-16|≧0,|a-b≧0であるから |a|-|b|≤la-bl inf. A≧0 のとき (1) |-|A|≦A=|A| 0 |-|A|=A<|A| であるから,一般に |-|A|A|A| 51 更に,これから |AI-A≧0,|A|+A≧0 30 1= x≤-c, c≤x |x|c 1章 c≧0 のとき -c≤x≤c |x|≤c ←②の方針 |a|-|6|が負 (左辺) <0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。 の場合も考えられるの [2] |a|-|6|≧0 すなわち |a|≧|6|のときで,平方の差を作るには 場合分けが必要。 la-bl²-(lal-1b)²=(a−b)²(a²-2|ab|+6²) inf. 等号成立条件 (1) は(*)から, labl=a 4 等 すなわち, ab≧0のとき よって, (2) は (a-66 ゆえに (a-b≧0かつ または (a-b≦0かつb すなわち ab≧0 まな a≦b≧0のとき｡

数IIの三角関数です。 赤ラインを引いたところから何をしているのか分かりません。 青ペンでカッコをつけたところまでの解説をしていただけると嬉しいです。

Think 例題 151 図形への応用 長さ1の線分ABを直径とする円周上の1点をPとし, PAB=0 とする。 のとき, 3AP+4BP の 最大値と最小値を求めよ. 解答 T T MOST 考え方] 三角関数の合成公式 asin0+bcos0=√a²+b2sin (0+α) を利用する. 100=1/5における0+α=xの変域を調べ、y=a+b singのグラフで考える。 3AP+4BP=3cos0+4sin0=y とおくと (0+α) y = 4sin0+3cos0=5sin 3 15' ただし, ∠APB= より AP=ABcos0= cos0, BP=ABsin0=sin0 =よ 2 sin a=- となるから, 0+α=x とおくと, y=5sinx であり, TU より。 Tr.. << 2 1 3 √2 また、 3 TU 2 TU cosa= (0<a<) <a<14 TL よって、a+ 6 TU a+≤x≤a +1 6 4 5 TU , sin <sin a <sin 12 TU ? <a+</27/ 3 12 =5sinx のグラフは右の図のようになる。 つまり, TU したがって, yはx=0+α= 07-αのとき最大となり,最大値は、 5sin 7=5 2 A yA 3√3+4 2 50 **** 最小 a+ Ho 0 B α+ られないので、値の範囲を しほりこんでおく。 na -4 15 x -5 205 α+1号の値は求め a+ 5 7 3 また sin (+)<sin 1/12=sin 1/12 <sin (a+2) より.yは x - 最大 y=5sinx TC 5 TU 7 π 3/127212 T a+ CON 52 3 100% x=0+α=a+1/つまり、9=7のとき最小となり、最小値は、 (3√3 4 5sin(a+)-sine cas+cosasin =)-(312) 3√3+4 2 6 以上より, 最大値 5, 最小値 第4