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答えにいたるまでの過程について,法則,関係式,論理,計算,図などの中から適宜選んで簡潔に書け。
図のように,異なる断面積の円筒部A, Bをもつシリンダーが、
真空中に鉛直に置かれている。円筒部Aには,気密性を保ちつ
つなめらかに動く質量Mのピストンがはめ込まれている。円筒部
Aの断面積はSで,その長さは十分長くピストンが外れることはな
い。円筒部Bは断面積 aS(aは1より小さい正の定数),長さLで
底面が閉じている。AとBは,相互に中心軸を合わせて,その中心
軸に垂直な円環状のシリンダー壁C(円環部C)で連結されている。
シリンダーとビストンで密閉された空間には,物質量nの単原子分
子理想気体が封入されている。図のように,ビストンの位置をCか
らビストンの底面までの距離z(rz0) で表す。シリンダーおよび
ビストンは断熱材でできていて,シリンダー壁の厚さは無視できる。
また,円筒部Bの内側底面には,体積および熱容量の無視できる加
熱冷却器がとりつけられている。重力加速度の大きさを g,気体定数をRとして,以下の設問に答えよ。
設問(1):以下の 7)~ )]に入る適切な数式を,{
し,与えられた文字がすべて必要とは限らない。なお,同じ記号をもっ口
はじめ,ピストンはCから距離』(ェ>0) の位置に静止していた。このとき,気体の圧力は
Po=(アM, 9. S, a}],体積は Vo=(イS, L, x, a}], 温度は To=(ウM, g. n, R, L, x, a}
である。この状態を「状態0」とする。
つぎに,気体をゆっくり冷却したところ,ピストンはゆっくり下降して気体の温度が
T= M, 9. L, n, R, a}] になったときに r=0 となり,ビストンはCにぴったりと接し静止した。
それと同時に冷却をやめた。このとき,気体はピストンの面積aS の部分にのみ接している。ビストンが
Cに接したときの気体の圧力は Po=|7)]であるので,ビストンはCに接した直後にCから抗力
N=オM, g. a}]を受ける。
ビストンがCに接した状態で気体をゆっくり加熱したところ,気体の圧力が P=(カM, 9. S, a}],
温度が T;=[(キM, g. L, n, R)口になったとき,ピストンはCから離れた。その瞬間に加熱をやめた。
ピストンがCから離れる直前の状態を「状態1」とする。Cから離れたピストンは,Cに再び接すること
なく、しばらく振動運動を行ったのち静止した。このときのピストンの位置をェ=2,気体の温度を T。
とする。この状態を「状態2」とする。状態1から状態2に変化した過程で気体の内部エネルギーの変化
は AU=[(クn,R, T, T}], ビストンの位置エネルギーの増加分はヶM, g, L, )]である。この
過程において,気体とピストンを合わせた系と,それ以外の系(加熱冷却器を含めた外部)との間にエネル
ギーのやりとりはないとすると,エネルギー保存則より関係式 ク)]+ ) ]=0
が成り立つ。すなわち,気体の内部エネルギーとビストンの位置エネルギーの
和は保存する。この関係式と,理想気体の状態方程式を用いると,
I2=L, a, T:=[サ{T, a}]であることが分かる。
設問2):状態0(体積 Vo, 圧力 P) から出発して状態1(体積 Vi, 圧力 P)に至る
設問(1)の過程を,圧力Pを縦軸,体積Vを横軸にとったP-V図として表せ。
ただし、状態1の気体の体積をViとした。解答では,V軸上に V。と Viを,P
軸上に P。とPを明記せよ。また,変化の方向を矢印で表せ。
ピストン
質量 M
断面積S
円筒部A
円環部C
円筒部B-
L
断面積 aS
加熱冷却器
)の中に与えられた文字を用いて答えよ。ただ
口には同じ数式が入る。
P
0
