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こて
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つでも
52
基本例題 27 不等式の証明 [A-B>0 の利用など｣
次のことを証明せよ。
(1) a>b>0,c>d>0のとき
(2) a>b>0のとき
(n)A
(3) a>1,6>2のとき
解答
ab+2>2a+b
指針 不等式 AB を証明するには, A-B>0であることを示す。
(2) (左辺) (右辺) の式で通分する。
(3) (左辺) (右辺) の式で因数分解する。
CHART 大小比較は差を作る
(1) a>b,c>0から
c>d, b>0 から
A
したがって
[別解a> b,c>0から
したがって
よって
atas d
ac>bd
と平方の作
ac>bc
ac-bd>bc-bd=b(c-d)
b>0であり,c>d より c-d>0であるから
b(c-d)>0
ac-bd>0 すなわち ac>bd
ac>bc
bc> bd
ac>bd
a
b a(1+b)-b(1+a)
1+a 1+6 (1+a)(1+6)
の大小関係との正 a
したがって
したがって
a
1+a
a-b
(1+a)(1+b)
b
1+6
b
1+α 1+6
LA
a-b
(2)
(1+α) (1+6)
a>b>0より, a-b>0,1+α> 0, 1+b>0であるから
->00-d
(a-1)(6-2)>0
ab+2>2a+b
(3) ab+2-(2a+b)=a(b-2)-(6-2)=(a-1)(b-2)
a> 1,6>2より, a-1> 0, 6-2>0であるから
10-A>B
COLTES I
$30
p.50 基本
18 EX
差 A-B
(1) 差をとるより 解答
関係の基本性質を利
た方が示しやすい。
A>B,B>CA
0<0-0
◄EXE=E
2308 A
2-442
10-101 30
基本 例題 28 不等式の証明
次の不等式を証明せよ。 また,
(1) x26xy+10y²≧4y-4
この説明を忘れずに。
(左辺) (右辺) > 0
指針 2乗の項が多く現れる。こ
するのが基本方針。
A²≥0
等号
A'+B2≧0 等号
(1) (x²-6xy+10y²)-(4
=x2-6yx+10y²-
αに着目して整理する 検討
この説明を忘れずに。
(左辺) (右辺) > 0
={x2-6yx+(3y)
=(x-3y)2+y2-
=(x-3y)2+(y-
ゆえに2-6xy+
等号が成り立つのは
すなわち x=6, y=2
(2) (a²+62)(x2+y2)-
= (a²x² + a²y² +
=a²y2-2abxy-
=(ay-bx) 20
ゆえに (a²+62)(
等号が成り立つのは
シュワルツの不等式
次の不等式が成り立つ。
(a²+b²)(x² + y²)
2 (a²+b²+c²) (x²
② の証明
(左辺) (右辺)=α'x2
=a²y²
(a²-
=m
