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注意
第2節 数学的帰納法
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STEP B
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
第1章
数列
a1=1, an+1=
3an
an+3
[解答 α]>0であるから, 漸化式により
漸化式の両辺の逆数をとり, b=-
とおく。
an
a20
これを繰り返して, すべての自然数nについて
よって,各項の逆数が存在して, 漸化式から
同様にして
a3>0
ano
1
an+3
すなわち
3an
an+1
1
an+1
1 1
+
an
3
ここで, bn=
1
an
とおくと
bn+1=bn+-
b₁+ 1, b₁ = 1 = 1
a1
したがって, 数列{6} は初項 1, 公差 -
の等差数列で
bn=1+ (n-1).
ゆえに
b₁ = n +2
3
an=
↓であるから an=-
bn
3
n+2
参考 すべての自然数nについて an>0 となることを厳密に証明するには,次の項目で学ぶ
数学的帰納法を用いる。
79 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
*(1) α=1, an+1=
an
an+1
an
α1
(2) (11/21
an+1
2'
2an+3
80 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
(1) α」=10, α+1=2+2+2
*(2) α=3, an+1=6an+3n+1
'81 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
α1=1, an+1=2an+3n
船頂を求めよ。
