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x において, 関数 f(x)=x-3a²x (a≧0) の最小値を求めよ .
f(x)=x²-3a²x ky,
f'(x)=3x²-3a²=3(x²— a²)
(i)a=0のとき
ƒ'(x)=3x²≥0
より, f(x) は単調増加する.
したがって,右の図より,
x=0のとき, 最小値0
(i)a>0のとき
f'(x)=3(x+a)(x-α)
よりx≧0 での f(x) の
増減表は右のようになる.
(ア) 0<a<1のとき
区間 0≦x≦1の中に
x=α が入るから,右の
図より, x=α で極小か
つ最小となり,
最小値f(a)=-2a
(イ) a≧1 のとき
区間 0≦x≦1で
f'(x) ≧0より、f(x) は単調減少
するので、 右の図より、
最小
0
x=1のとき,
最小値f(1)=1-3a²
よって, (i), (i) より 求める最小値は,
a=0 のとき, 0
0<a<1のとき -2a
a≧1 のとき. 1-3a²
0
f'(x)
f(x) 0 極小
YA
0
:
-2a
最小
yA
1
a
1-3a²
Check!
練習
第6章 微分法 361 Step Up
章末問題
x
0 +
･最小
LV そもそも価値ないとき
f(x) ≧0
f(x)=x²¹ wa F'(x) = 3 (x²-0²) 20
-a²30
2≦0
-a=0はOKだけど
0²<0,24)
x=a と x=-αで極値を
とるが, 0≦x≦1の区間に
x=-a<0 が含まれること
はないので, x=a のみ考え
る。
極値が区間に含まれる場合
x······· a….1
Acc
0
for Dual-
| 極値が区間に含まれない場合
"Olma
いく
f(x) = (17
f(x)
0≦a<1のとき, 2² とま
とめてもよい。
0 £+8=2
0
