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( 372 )
[□]
解答
(1)
AU
4
配点
(15点(2) 8点 (3) 12点
C
G■
2次関数 (25点)
(2)
ON
2次関数f(x)=ax²+2ax+3a+1 がある。 ただし,αは0でない定数とする。
(1)a=2のとき、y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) y=f(x)のグラフをx軸方向に2,y軸方向にだけ平行移動したグラフを表す関数を
y=g(x) とする。 y=g(x)のグラフの頂点の座標をGを用いて表せ。 また, y=g(x) の
グラフが点 (3,1)を通るときの値を求めよ。
解答の
ポイント
(3) 正の定数とする。 (2)のとき、ISxSt+3 における g(x) の最大値をM. 最小値を
とする。1を用いて表せ。 また、2M-m=6となるようなの値を求めよ。
a=2のとき
∫(x)=2x²+4x+7=2(x+1)+5
よって、y=f(x)のグラフの頂点の座標は
(-1, 5)
∫(x) を平方完成することができた。
⑩平方完成した式から頂点の座標を読み取ることができた。
∫(x)=ax²+2ax+3a+1=a(x+1)+2a+1
であるからy=f(x)のグラフの頂点の座標は
(-1, 2a+1)
y=g(x)のグラフの頂点は、y=f(x)のグラフの頂点をx軸方向に2. y
軸方向に3だけ移動したものであるから、その座標は
(1, 2a+4)
g(x)= a(x-1)¹+2a+4
さらに、 y=g(x)のグラフが点 (31) を通るとき
(3) 1
よって
圈 (-1.5)
4a+2x+4=1
a-1/23 これは を満たす。
解答の
ポイント
2x²+4x+7=2(x+2x)+7
=2(x+2x+1-1)+7
=2{(x+1)^-1)+7
=2(x+1)+5
ax²+2ax+3a+1
=a(x+2x)+3a+1
=a(x+2x+1-1)+30+1
a{(x+1)^-1)+3g+1
=a(x+1)+2a+1
y=(x)のグラフの頂点は
座標: -1+2=1
y座標: 24+1+3=2a+4
<y=g(x) に x 3. y=1を
入する。
(順に) (1.2g+4), am-12/2
◎ y=f(x)のグラフの頂点の座標をaを用いて表すことができた。
○ 平行移動の考えを利用して, y=g(x)のグラフの頂点の座標を求められた。
© 求めた頂点の座標から(x) を表すことができた。
A
[□]
CO
O
C
[□]
C■
(3)
(2) のとき
(x)=2(x-1)2+3=-212x2+x+2/2
したがって, y=g(x)のグラフは右の図のよ
うになる。
t>0 のとき、x+3 における g(x) の
最小値は
m=g(t+3)=-
である。 また、最大値は
(i) 0<t≦1のとき M=g(1)=3
it >1のとき
となる。
(i) 01のとき
2.Mm6 より
=-12-21+1
t>1のとき
2.M-m6より
2-3-(-12-21+1)=6
12/2+21-1-0
t²+4-2=0
t=-2±√6
場合分けの条件 01 より
t=-2+√6
解答の
ポイント
M=9(1)=²+1+
2 ( - ² + 1 + ) ( − 1 −2+1)=6
-+-20
-&+40
t=4+2√3
場合分けの条件1>1より
1-4+2√3
(1), ()より、求める」の値は
=-2+√6. 4+2
Ot
y=g(x)\
最大
+3:
y-g(x)
11+3.
1226-21+1.276.4+2/3
x
αは負であるから, y=g(x) の
グラフは上に凸の放物線である。
定義III+3 の中央は
1+1/2/2 である。1>0のとき。
2/23 >1 であるから、y=g(x)の
グラフの軸x=1は常に定義域の
中央x+2/23 より左側にある。
よって, g(x) は定義域の右端で最
小値をとる。
g(x) が最大となるのは、 0<IS]
のとき､グラフの頂点においてであ
り、t>1のとき、定義域の左端に
おいてである。
場合分けができた。
の大小関係によって、
場合分けの範囲に入るかどうかを
確認する｡
であるから
より 26 <3
2+2 <-2+√6 2+3
0-2+√1
また、 -2-√6 <0
場合分けの範囲に入るかどうかを
確認する。
4/9<√12<√16 2D, 3<2√3<4
であるから.
44 < 4-2√ < 4-3
0<4-2/3 <I
また、 4+2/51
○最小値を求められた。
0と1
ⓒ それぞれの場合において, 条件 2M-m6の方程式として表すことができた。
それぞれの場合において､その方程式を
解の味ができた。
