例題 262 メネラウスの定理と面積比
△ABCの3辺BC, CA, AB をそれぞれ1:2に内分する点をL,M,Nと
し, ALCN の交点を P, ALとBM の交点を Q, BM と CN の交点を
とする。 次の三角形の面積を △ABCの面積Sを用いて表せ。
(2) APQR
(1) ABCR
ReAction 高さ (底辺) の等しい三角形の面積比は, 底辺 (高さ)の比とせよ
逆向きに考える
例題255
見方を変える
(1) BCR から始めて, △ABC へ広げていくには, どの線分の比が必要だろうか?
ABCRと
似た構図
直接求めるか?
M
(2) APQR
△ABC- (△PQR以外の部分)
と考えるか?
R
B
L
(1)
C
思考プロセス
解 (1) AN:NB = 1:2であり,
CM:MA = 1:2よりで変わることは、
CM: AC=1:3
(3)
22
M
①
R
よって, △ABM と直線 CN につ
いて, メネラウスの定理により
B
△BCR → △BCM
→△ABCと広げていく
ために, BMBRをメネ
ラウスの定理を用いて求
める。
AC MR BN
= 1
CM RB NA
3
MR
2
RM
=1より
1
RB
1
BR
16
2
TMB LQ
AAA
<P
(6)
C
よって
RM:BR = 1:6
ゆえに
BM:BR = 7:6
例題
255
したがって
6
ABCR =
ABCM=
6
.
-△ABC
7
7
1/3AABC=2S
ACM: AC=1:3
例題
255
(2)と同様に, △BCN と直線 AL,
△CAL と直線 BM について, メネ
ラウスの定理を用いると
BA NP CL
=1より
AN PC LB
3 NP 2
=1
1 PC 1
△CAP=△ABQ=
よって
P
2
M
S
R
B
L
LAPQR = AABC-(ABCR+ACAP + AABQ)
=S-3・
S
よって NP:PC = 1:6
CB LQAM
"
BLQA MC
M3 LQ 2
1 QA1
=1より
よって LQ:QA=1:6
