基礎問
150
第6章 微分法と積分法
95 接線の本数
曲線C:y=x-x 上の点をT(t, ピーt) とする。
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式
を求めよ.ただし,a> 0, b=d-α とする.
(3) (2) のとき, 2本の接線が直交するようなa, bの値を求めよ.
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致し
ます. だから, (1)の接線にA(a,b) を代入してできるもの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 94 注で学習済みです。
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します.
精講
1つは (2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」
を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数 (83)ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります.
解答
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-12
よって, Tにおける接線は,
KORZ
y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
∴.y=(3t2-1)x-2t3
x
M
C
(2) (1) の接線は A(α, b) を通るので
b=(3t²−1)a-2t3
る
₂T (t, t²-t)
=10152
Ex.31= a bett
∴.2t3-3at2+a+b=0....... (*)
(*)が異なる2つの実数解をもつので、
g(t)=2t-3a2+a+b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち,
( 極大値)×(極小値)=0 であればよい.
94 注
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t = 0, t=α だから
g'(t) = (t (t-a) = 0
85
git
g(土)
y=x²-x
Ň
A(a,b) f
x...?
CASAS
b
(3)
IKI
HV
3次
すると
・余
・C
演習問
