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(1) xSy であるから 3x+yハ3y+y
(2) 両辺に3xyを掛けて, (1) と同様の形にして進めることもできるが、 分数のまま
*Sy という条件があるから, これを 値の絞り込み に利用する。
110° 次の方程式を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。
「次の方程式を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。
値の範囲を絞る方法で取り組んでみよう。
発展例題 109
2xy=3x+y, xsy
1
1_2
x
y
3,xSy
CAT
GUIDE)
方程式の自然数解 不等式で範囲を絞り込む
この左辺は 2xy, 右辺は 4y
0<xSy のとき,分数の大小関係は1<.
となることを利用する。
5章
x
2xy=3x+y<3y+y=4y
Syであるから
2xy<4y
又の値で絞り込れために、
x=1, 26辺をそのにする
よって y=3
よって y=2
ー下線部分にxハyの関係
を適用した。 また, yは
正の数であるから、
2xyS4yの両辺を2yで
割ることができる(不等
号の向きは不変)。
すなわち
ゆえに
xS2
よって
i x=1 のとき,方程式は 2y=3+y
x=2 のとき,方程式は 4v=6+y
以上から,求めるx, yの組は
よって
1,11.12
S
KxSy から
y
(*) 両辺にx(>0) を掛
x
x
x
y
x
x
けて
3°
x<2
2
ゆえに
ニ()
よって xS3 すなわち x=1, 2, 3
3
x
よって xS3
1
1
2
ゆえに
3
1
x=1 のとき,方程式は 1+
y
3|
注意(2) は両辺に3xy を
ー=
これは自然数でないから, 不適。
e
1 2
よって y=-3
掛けることにより,結局
1
(2)も(1) も
1
x=2 のとき, 方程式は
2
1
ゆえに
y
ニ
6
axy+ bx+cy=0 の形
なる。これはp.432 発展
1
y
3
よって
y=6
題92 (2)のように,
3
1
2
ゆえに
3
1
1
x=3 のとき,方程式は
3
( )×( )= (整数)の
に変形して解くことも
きる。
ニ
y
よって
y
y=3
から,求めるx,yの組は
(x, y)=(2, 6), (3, 3)
次の方程式を満たす自然数x、 vの組をすべて求めよ。
1,1_1
12)
(1) 3r1ーA。
xSy
