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2次方程式の解と数の大小 ( 1 )
2次方程式(a+1)x+3a=0が-1≦3の範囲に異なる2つの実数解を
[類 東北大] 基本 126 127 重要 130 \
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
2次方程式f(x)の解と数の大小については、y=f(x)のグラフとx軸の共有点の
関係を考えることって、基本例題 126,127で学習した方法が使える。
すなわち、f(x)=x-2a+1)x+3aとして
2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
⇔放物線y=f(x)がx軸の-1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わる
したがってD>0, -1<(軸の位置) <3, (-1)≧0, (3) ≧0で解決。
CHART 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着
この方程式の判別式をDとし, f(x)=x²-2(a+1)x+3a
とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、その軸は
直線x=a+1である。
方程式(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数 指針
解をもつための条件は, y=f(x)のグラフがx軸の
1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わることである。
すなわち,次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。
[1] D> 0
[2] 軸が-1<x<3の範囲にある
[3] f(-1) ≥0
[4] f(3)≧0イコールがない?
[1] ²={-(a+1)}²-1•3a=a²-a+1=(a− 1)² + ³ |
よってD>0は常に成り立つ。
[2] 軸x=a+1 について -1<a+1<3
すなわち -2 <a<2
[3] f(-1)≧0から
ゆえに 5α+3≧0 すなわちa≧-
5
[4] f(3) ≧0 から 32-2(α+1)・3+3a≧0
ゆえに
-3a+3≥0
すなわち a≦1. 3
① ② ③ の共通範囲を求めて
3
(−1)²−2(a+1)•(−1)+3a≥0
*****.
の方針。
2次方程式についての問
題を、 2次関数のグラフ
におき換えて考える。
この問題では, D の符号、
軸の位置だけでなく,区
間の両端の値f(-1),
(3) の符号についての
条件も必要となる。
-1<(軸) <3
YA
0a+1
A
≦a≦1
注意 [1] の(*)のように、αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。
3章
¥3
1982次不等式
イユールになる
軸になるという
だから異なる交わると
範囲外になってまう、
2次方程式x²ax+α-1=0が-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつ
