二次関数の問題です。 解答のなみなみ線部分がわかりません。なぜ頂点のx座標がこの範囲にあるとするのでしょうか。他の場合分けが不要な理由がわからないです。お願いします

m 各) 8 2次関数の最大・最小/定義域が動く場合 a を実数とする. 定義域が α ≦x≦a +4 である関数f(x)=-x-4-6の最大値は α の関数で あるので,これをM (α) と表す. 同じく, 最小値をm (a) と表す. M (α), m (α) を求め b=M(a), b=m(α) のグラフを ab平面に (別々に)書け. (名古屋学院大) 最大・最小となる候補を利用 前問は,定義域が一定区間に決まっていて、 関数の方が変化したが, 本間は、関数の方が決まっていて、定義域の方が動く問題である。とは言っても,前問と同様に解くこ とができる.ここでは,前間と違うアプローチを紹介しよう。(なお,これらの解法は, 関数と定義域が ともに変化するときも通用する。) 左ページの①~⑦のグラフから分かるように,y=d(xp)+gのグラフが下に凸の場合, ・区間α ≦x≦B における最小値は, x=pが区間内にあれば, 頂点のy座標 q そうでなければ,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの小さい方 ・区間α ≦x≦B における最大値は,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの大きい方 である。結局,「最大値や最小値になる可能性のある点は,頂点と両端点の3つのみ｣であるから, 「頂点のy座標(頂点が区間内にあるとき), および区間の端点のy座標からなる3つのグラフを描い ておき,最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小 値のグラフである｣ これは, グラフが下に凸な場合のみならず, 上に凸な場合についても成り立つ. 解答 y=f(x)のグラフは上に凸である.f(z)=-(x+2)²−2(a≦x≦a+4) であるから、頂点の座標がa≦x≦at4 にあるとき (as−2≦a+4), 6≦a≦2のとき, M(α)=f(-2)=-2 すなわち, それ以外のとき, M(α)=max{f(a), f(a+4)} つぎに f(x) の最小値は定義域の端点で取るから, m (a)=min{f(a), f(a+4)} ここで, f(a)=-(a+2) 2-2 f(a+4)=-{(a+4)+2}2-2=-(α+6) ²-2 であるから, b= f(a), b=f(a+4) のグラフは図1のようになる. よって, b=M(α), b=m(α) のグラフは, 図 2, 図3の太線である. bto 図3 bto 図 2-6 -2 1 -6 -4 -20. a M. -6 b=f(a+4) b=f(a) b=-2 b=-(a+2)²—2 b=-(a+6)-2 a -2 -6 -4 b=-(a+2)²X -2 max {p,q}は,pg のうちの大 きい方 (小さくない方) の値を表 (1 < す (min{p,g}は,p,gのうち の小さい方 (大きくない方) の値 を表す) MAR -6 ←一般にb=f (a+4) のグラフは, b=f(α)のグラフをα軸方向に -4だけ平行移動したものである. (p.32, 51) MX-2-5 b=-(a+6)²-2 08 演習題(解答は p.57 ) (ア) f(x)=x2+2x+2a≦x≦a+1における最大値をM, 最小値をm とする。 | のとき最小値 M-m=1を満たすaの値は であり, M-mはa= をとる。 2次関数のグラフ ち書き、その交点! (星城大 一部省略) (イ)/ 関数f(x)=x2-2xla≦x≦a+1 (a≧0) における最大値g(α)を求めよ. またg(α) を最小にする α を求めよ. (明星大) (ア) 7,08 のどちら の解法で解いてもよい ろう. (イ) 最大値の候補を活 用しよう. 4

二次関数の問題です。 解答のなみなみ線部分がわかりません。なぜ頂点のx座標がこの範囲にあるとするのでしょうか。他の場合分けが不要な理由がわからないです。お願いします

m 各) 8 2次関数の最大・最小/定義域が動く場合 a を実数とする. 定義域が α ≦x≦a +4 である関数f(x)=-x-4-6の最大値は α の関数で あるので,これをM (α) と表す. 同じく, 最小値をm (a) と表す. M (α), m (α) を求め b=M(a), b=m(α) のグラフを ab平面に (別々に)書け. (名古屋学院大) 最大・最小となる候補を利用 前問は,定義域が一定区間に決まっていて、 関数の方が変化したが, 本間は、関数の方が決まっていて、定義域の方が動く問題である。とは言っても,前問と同様に解くこ とができる.ここでは,前間と違うアプローチを紹介しよう。(なお,これらの解法は, 関数と定義域が ともに変化するときも通用する。) 左ページの①~⑦のグラフから分かるように,y=d(xp)+gのグラフが下に凸の場合, ・区間α ≦x≦B における最小値は, x=pが区間内にあれば, 頂点のy座標 q そうでなければ,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの小さい方 ・区間α ≦x≦B における最大値は,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの大きい方 である。結局,「最大値や最小値になる可能性のある点は,頂点と両端点の3つのみ｣であるから, 「頂点のy座標(頂点が区間内にあるとき), および区間の端点のy座標からなる3つのグラフを描い ておき,最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小 値のグラフである｣ これは, グラフが下に凸な場合のみならず, 上に凸な場合についても成り立つ. 解答 y=f(x)のグラフは上に凸である.f(z)=-(x+2)²−2(a≦x≦a+4) であるから、頂点の座標がa≦x≦at4 にあるとき (as−2≦a+4), 6≦a≦2のとき, M(α)=f(-2)=-2 すなわち, それ以外のとき, M(α)=max{f(a), f(a+4)} つぎに f(x) の最小値は定義域の端点で取るから, m (a)=min{f(a), f(a+4)} ここで, f(a)=-(a+2) 2-2 f(a+4)=-{(a+4)+2}2-2=-(α+6) ²-2 であるから, b= f(a), b=f(a+4) のグラフは図1のようになる. よって, b=M(α), b=m(α) のグラフは, 図 2, 図3の太線である. bto 図3 bto 図 2-6 -2 1 -6 -4 -20. a M. -6 b=f(a+4) b=f(a) b=-2 b=-(a+2)²—2 b=-(a+6)-2 a -2 -6 -4 b=-(a+2)²X -2 max {p,q}は,pg のうちの大 きい方 (小さくない方) の値を表 (1 < す (min{p,g}は,p,gのうち の小さい方 (大きくない方) の値 を表す) MAR -6 ←一般にb=f (a+4) のグラフは, b=f(α)のグラフをα軸方向に -4だけ平行移動したものである. (p.32, 51) MX-2-5 b=-(a+6)²-2 08 演習題(解答は p.57 ) (ア) f(x)=x2+2x+2a≦x≦a+1における最大値をM, 最小値をm とする。 | のとき最小値 M-m=1を満たすaの値は であり, M-mはa= をとる。 2次関数のグラフ ち書き、その交点! (星城大 一部省略) (イ)/ 関数f(x)=x2-2xla≦x≦a+1 (a≧0) における最大値g(α)を求めよ. またg(α) を最小にする α を求めよ. (明星大) (ア) 7,08 のどちら の解法で解いてもよい ろう. (イ) 最大値の候補を活 用しよう. 4

証明の最後の方にある、「一般に、」からが理解できません。詳しく教えていただきたいです。

例2 z=g(y)=siny, y=f(x)=x2 ならば, fg の合成関数は z = sinx. 合成関数の連続性 定理1.2.3 y=f(x)がx=αで連続で, z=g(y) がy=f(a) で連続ならば,合成関 数z=g(f(x)) は x =αで連続である. 証明 y=f(x) は x =αで連続であるから lim f(x)=f(a) x→a である.また z=g(y)はy=f(a) で連続であるから lim_g(y)=g(f(a)) y-f(a) である.一般に,この極限はy ≠ f (a) なる条件の下でyをf(a)に近づけるの であるが, g(y)がy=f(a)で連続であり,yがf(a) に近づくのに y=f(a)を みたしていても成り立っているので limg (f(x))=g(f(a)).

これの範囲の設定の仕方を教えてください！！

LICA" 7 1 + = + = + = + = 2 > log(n+1) したがって P.247 練31 次の不等式を証明せよ。(nは2以上の自然数) 1 + 1 =1/1²/1 + 1 =1/1/2 + +w+ // < 1 + logn 証明) 自然数㎞に対して、R-1≦X≦Rのとき 1 { // また、等号は常に成り立たないので k S & dx < Sdx < したがって k po & dx RY X n≧2のとき k R=2 URT 12 5-² - x + 1 よって 巻 - dx = S₁ -dx 1 / + = + & dx +w+ No. Date ·dx+ ++ [tete da = S₁ & 2 dx = [loglal]," = logn // < logn n 1 + 2/² + 1 ² + ² + √// < 1 + logn n

これはどうやったら0になるでしょうか。

n = marz 1) = 1 VY 11 = ſo sin (m². x) sin (^² x) dx L d|UN|JN|J 2 L L 201² 2 (E 2( 2 L 2 2 cos 2 t JUTC WTC) x L sin COST sin (MTC UTC L Han u^)/x dix - f. cars far + h)ox day CUS d n/x UT MITC L sin (Wire UTS IL MTC o - 1 cos 2 (MTC)²-(UT) ² WITH ME /x]dx + L L L E sin mit MT ull sin UR (MTC UTC) URL² 2 L MTC-UR WTC + UTC ((oin (_) 2*)/(m + 1)) - ((2x (W== + u^=) -²) (MR_UTC)) ((sin 210 siul- sin (ua UTC) (MTC)²-(UTC) ² MTC ntc) + L MTC I + WT/L + (MTC UTC), 2 SINIFL UTY 2² (MTC -UTC) (MTC + UTC 2 (mil sinf W) (² + UTC sin (ure na 2²) - (mi sin(4x +47) 2²-uit sinfi47/13) 心 L JX UR L

四角に入る数字はx+1ですか？よろしくお願いします。

d Togg (+1) + (x + 1) 16 g 5 (x+1) logs

部分分数分解を用いた積分のやり方がわかりません。 途中式やどうしてそうなるのかも含めて教えて頂けると嬉しいです🙇‍♀️

4x² + 9x +4 x(x + 2)² S 2 dx

数学の三角関数の質問です。 cos（sin）二乗θ > 1のとき、図形で表すとどのような形になるでしょうか？

五番の問題がわからないです。教えて欲しいです！よろしくお願いします^_^

予想問題 ] ⑤A, B, C3 組の夫婦6人が旅行先でゴルフ大会を開き 勝した。前日,当日,当夜の状況は次の通りである。 あ (ア)優勝者の配偶者は,当夜トランプをして負けた。 (イ)A氏は,前日気分がすぐれずずっと寝ていた。 +0+ (ウ)B氏は,C夫人に当日初めて会った。 3+0+ta (エ)B夫人は,1人の夫人と当夜ずっとおしゃべりをしていた。 (オ)B氏は,前日テニスをして優勝者に勝った。 ヨナ (カ)A夫妻は当夜トランプに参加し, A氏が勝った。 Q+A 4530030 上の状況から判断して、優勝者は誰か。 031-0+日 -A)S ,U10+0+0+0+0 (3) B*X+0+0+8+A ** (1) A氏 (4) C氏 (2) A夫人 (5) C夫人 口 ⑥ 全く同じ型の4戸ずつのアパートが図のように3棟並んで建ってい 8-0.58TAME=A る。ここに住んでいるA~Dの4人はおのおの次のように発言して いる。 A「私の家は棟のはしではなく,すぐ 南側の棟にBさんの家があります」 B「私の家は棟のはしで、1軒おいて 東側にCさんの家があります」 C 「Aさんの家とDさんの家とを結ん だ直線上に、 私の家があります」 D 「私の家の1軒おいて真北にEさんの家があります」 1 (1) Aの家は2である。 (2) Bの家は8である。 (3) Bの家は9である。 (4) D 5 以上のことから確実にいえるのは,次のうちどれか。 2 北 6 7 8 9 10 11 12 3 4 3組の夫婦6人を A, a, B, b, C,cで表す。 5 Point A夫妻をA, a, B夫妻をB, b, C夫妻をC,cで表す。 ただし 小 文字は夫人を示す。また, 優勝者をW, その配偶者をwで表す。 (オ)より, BWとなる。 (ア) (カ)より, A≠wとなり, a≠Wとなる。 (イ)と (ウ)と (ア)と(エ)より、 「1人の夫人｣はc となり, c≠w,CW となる。 -10 (40) 以上より,残るのはB夫人だけとなり, B夫人が優勝者とわかる。 B SA AI ⑥ Point 確定した位置関係をもとに他の条件を加える。 Bの発言から、BとCの位置関係は次のようになる。 B A≠Wとなる。 よって, a≠w。 (オ)より, c≠Wとなり, C≠wとなる。 (オ)より, A 解説と解答・ C これに,A,C,Dの発言を加えると,4者の位置関係は次のよう になる。 北 C E (3) D

この問題が分からないです。ときやすい方法で教えてください🙏🥹

0 1 12 下図は正八面体の展開図である。 これを組み立てたとき,点Aと重な る点はどれか。 (1) Q (2) R (3) S (4) T (5) U 聞き方の Point U A ☆ S R Q T 正八面体の展開図の基本的性質を利用する。 立方体の展開図の基本的性質は、90°回転させても展開図は変わらな いということであったが、正八面体は120°回転させても展開図は変わる ない。 ただ, 120°回転の場合、簡単な展開図に おいてはその威力を発揮することになる が,問題が複雑になると, 120°回転では対 処できなくなる。あまり慣れていなくて 限られた時間内ですばやく解答しなければ ならないときには、次の方法を使うとよい。 図1のような正八面体があり, 6つの頂 点にA~Fの記号がつけられている。 また,図1の正八面体の展開図は図2の A(U') B A R R U T' U' 図1 A E F S S T T ›D ようにな いくつも 3の〔● っている B し 見つ