マクロリー展開の意味が分からず困っています。すみませんが、教えていただけませんか？

例題 大の有限マクローリン展開を確かめよ。 (-1)"sinOx (2n)! sinx=5(-1)x2k+1 た=0 (2k+1)! 2n -x

(ii)と(iii)がどうしてこうなるのか分かりません お願いします

b. [1+] Let t(n) be the number of total partitions of n, as defined in Exam- ple 5.2.5. Let g(n) have the same meaning as in Exercise 5.26. Deduce from (a) that g(n) = 2"t(n) for n >1. c. [2+] Give a simple combinatorial proof of (b). 5,37. a. [2+] Let 1=D po(x), pi(x), be a sequence of polynomials (with coeffi- cients in some field K of characteristic O0), with deg pn=n for all nE N. Show that the following four conditions are equivalent: ) Pn(x + y) =DE>o (") Pe(x)pnーk(y), for all n eN. (i) There exists a power series f(u)=aju+azu'+ E K [[u]] such that と P(x)- un expxf(u). (5.110) n! n>0 仮定 NOTE: The hypothesis that deg pPn=nimplies that aj ¥ 0. () E20 Pa(x) = (E>0 Pn(1)). (iv) There exists a linear operator Q on the vector space K[x] of all poly- nomials in x, with the following properties: ●Ox is a nonzero constant ●Qis a shift-invariant operator, i.e., for all aeK,Qcommutes with the shift operator E4 defined by E® p(x)=D p(x +a). ● We have Qpn(x) =D npn-1(x) for all n e P. NOTE: A sequence po, Pi, .. . of polynomials satisfying the above con- ditions is said to be of binomial tvpe. The operator Q is called a delta

写真の微分の過程がわかりません。教えていただけますか？

x (2) Tan-! V1+x° 2

微分です　よろしくお願いいたします

公式でけ (log) Tgのに log (2スナ)を微分すると なぜ 2 になるのか? 2X+!

線形代数の行列です、どのように解いていくか途中の式と答え教えてください。

2 行列A= (; について, A" (n=1,2,3,…)を求めよ。 2 4

赤く印したところ同士が同じものを示しているのはわかるのですが、なぜA×Bがこれらの式で表せるのかわかりません。なぜですか

5) A= Ai+Ayj+A,k, B= B,i+Byj+B,k ならば A×B= (A,B,-A,B,)i+(A;B.-A,B.)j+(AzB,-A,B.k (2.1) 5)は4)を使って示すことができる。 行列式(2-4 節で述べる)の記号と思いれば, ペクトル積は、 |4, A, j+ Bs |Az A |Ay A.| B。 Bu A×B- B, B。 三 i j k (2.8 =| A』 A, A,

先ほども質問したのですが、方針はついたものの、書いてみると本当にこれで良いのか？となりました。 前半だけ少しだけ書いてみたのですが、これで良いのでしょうか? もし違えば、どのようにすれば良いのか教えていただけたら幸いです。 参考資料などもあればぜひお願いします。

III-c) 行列 A, Bから定まる線形写像 fA, fe に対して,その和 fa+ fe が定義されるな らば,それは行列A+Bから定まる線形写像 fA++B に一致することを示せ、 また,合成 fBofa が定義される場合ではどうか.これはいかなる行列によって定められ る線形写像となるか考察せよ。

t=f(e^s , s^3) このときのdt /ds はどのように表せばいいのでしょうか 教えてください！

これについて教えていただけたら幸いです。 前半はfA＋fB＝fA＋Bと定義して、その定義を用いて、定理の部分を証明するという方針が 一見して浮かんでいるのですが、正しいかわからないです。 後半は検討がつかないです。

III-c) 行列 A, Bから定まる線形写像 fA, fe に対して,その和 fa+ fe が定義されるな らば,それは行列A+Bから定まる線形写像 fA+Bに一致することを示せ また,合成 fBofa が定義される場合ではどうか.これはいかなる行列によって定められ る線形写像となるか考察せよ。

解き方を教えて欲しいです🙇‍♀️

問題。 Rr, 2yry|| nE Z20, aij € R 0<Sn と定めると,Rlと同様に可換環となる。このとき,この環は単項イデ アル整域ではないことを示せ。