統計学の問題です。全部分かりません。教えてください。

③3 確率×Yを以下のように定義する。 2 W.P. 1/6 W. P. x = 3 4 16 w. P. 1/5 w.P. 1/6 Y = 0 w.p. 112 wp. 1/6 I W. P 3/10 In 5 6 W. P. 1/6 1/6 W. P (1)XとYの確率関数をそれぞれfx(水).fy(y)とする。このとき、fx (1) fx(5) fy(0) fy(1).fr(2)の値をそれぞれ求めなさい。 (2)XとYの分布関数をそれぞれFx(水),Fy(y)とする。このとき、FX(0) FX(5) FY (0) FY (1) FY(2)の値をそれぞれ求めなさい。 (3) Xの平均を求めなさい。 (4)Yの平均を求めなさい。 (5)Xの分散を求めなさい。 (6)Yの分散を求めなさい。(7) Z1 2X+3の平均を求めなさい。 (8) Z1の 分散を求めなさい。 (9) Z2=-3Y+2の平均を求めなさい。 (10) Z2の分散を求めなさい。 (1) f(x) C{ーポ+2才}O<水く2が密度関数となるような正規化定数Cの 値を求めなさい。 (2)(1)で求めた密度関数f(オ)を持つような確率関数×を考える。Xの分布関数を 求めなさい。 (3) Xの平均を求めなさい。 (4) Xの分散を求めなさい。 5 x^ ~N(50,102) であるとき、次の問いに答えなさい。 (1)P140×60)の値を求めなさい。 (2)Xの分布の第 四分位点を求めなさい。 ⑥大問3で定義した確率変数XとYに対して.2=2X-3Yと定義する。 このとき、次の問いに答えなさい。 (1)Zの平均を求めなさい。 (2)XとYは互いに独立であると仮定する。このとき、その分散を求めなさい。

行列の直交化についてです。 赤枠の部分に、なぜプラスマイナスがつくのかが分かりません。いつもならつかないと思います。 よろしくお願いします🙇

3 2次の実対称行列Aでつくった2次形式が次のように与えられたとする。 2 -2 'xAx=2x2-4xy +5y2 ここで, A= x= ECOP -2 5 x-(3). 'x=(x_y) T ある。このとき以下の設問に答えよ。 (1) A の固有値と固有ベクトル(正規化したもの)をすべて求めよ。 69 (2) (1)で求めた固有ベクトルを並べてつくった2次の正方行列P とその転置行列 ' を使って 'PAP を計算せよ。 (3) ベクトルxに適当な1次変換を行い上記の2次形式を標準形に変換せよ。 <筑波大学第二学群・工学基礎学類〉

編入数学徹底研究の151ページについて質問です。 固有値、固有ベクトルを求めたあとに、正規直行化を行っています。しかし、(3 0) (0 2)の部分はわざわざ正規直行化をしなくても、固有値が分かれ... Read More

例題13-4 (2次形式) 次の2次形式の標準形を求めよ。 標準形に書き直すことができる。 [解説] 2次形式 'xAx は適当な直交行列P による変数変換x=Pyによって, 解答 Q(x,y)=2x²-4xy-y²=(xy) ^= (-²2-²³) -1 行列 A の固有値を求めると, 32 2次形式の行列は,A= これはただちに正規直交化できて, 2 √5 b₁ = 固有値 3, -2 に対する固有ベクトルとして, a1=1 ////////// a₁ Tail そこで,P=(bb2)= ここで, Q(x,y)=2x²-4xy-y² 1 2 +/- (-²) 類題13-4 5 2 √√5 √5 1 2 15 √5 (3-2) = (X_Y) とおくと, -2 =²) (*) ** 3)(3) b2 次の2次形式の標準形を求めよ。 Q(x, y, -2 このとき. Q(x,y)=(xy) A(x) - (-2)-(2) か? Pは直交行列で, 'PAP= X (*) - P (4) ( * )= ( x ) ²³ 'P £>T, Q(x, y)=(x _y)A(*)=(X_Y) PAP(X) a2 1 |az| X » (³-2)(x)= = とおくと, より, √5 - (2) - z)=5x²+y²+z²+2xy+6yz+2zx 151 がとれる。 1 √5 2 √5 =3X2-2Y?･･･ 〔答〕 :: (x y)=(X_Y)'P 解答は p.263

図の楕円についてです。（x y）＝P（X Y）とおいてあるので、xy座標から-26.6°回転した場所にXY座標が引かれるような気がするのですが、なぜこのようになるのでしょうか。良ければ教えてください。

第8章 行列の対角化の応用 例題2 つぎの2次曲線の標準形を求め,曲線の概形をかきなさい｡ (2) x² - 4xy – 2y² = −6 (1) 5x24.xy + 8y2 = 36 (2) → 考え方 基本的には2次形式の標準形と同じように求めることができる. 5 IC 解答▷ (1) 方程式は、Az=(xy) (22) (4) - -2 8 -入 -2 =0 より (-4)(入-9) = 0 固有方程式 15-2- よって,固有値は入 = 4,9 と求められる. 8-A/ (i) 入=4 のとき 正規化した固有ベクトルは (ii) 直交行列 P= 1/12 (12) として、 z=Py,すなわち、(T)=P(Y) とおくと, √5 ¹x Az = 'y('PAP)y = (X_Y) (1 9) (¥) = 4X² +9Y² = 36 = 9 のとき 正規化した固有ベクトルは となる. よって, 図 8.1 のような 右理や YA 0 -2 図 8.1 3 = 36 と表される. X² y² 3² + =1(楕円)となる. 2² 1 V5 1 √5 (2²) X (答) + X2 y² 32 + =1, 図示した結果を図 8.1 に示す. 22 X Memo I 1 P = = 1/16 (²21) √5 cos 0 sin 0 - sin 0 cos A は原点まわりに8= 26.6° 程度の回転を表す行列. イ

この正規化の意味がよくわかりません。 これは何を使って計算しているのでしょうか？？

x=1.96√2 の値を正規化すると 1.96√2-0 √2 2 = = 1.96

重解なのに固有ベクトルの値が違うのはなぜでしょうか？ また、どのような計算をしてるのでしょうか？ すみませんが、お願いします。

例題13-3 (対称行列の直 2 異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交することに注意すれば、 固有値 1,1,4に対する固有ベクトルとして, 次の ai, az, asがとれる。 直交行列にするため, 固有ベクトルの正規直交化の作業が必要となる。 その男。 「解説実対称行列は直交行列によって対角化できる。 対角化に用いる行外に 11 を直交行列により対角化せよ。 実対称行列 A= 2 1 解著固有値を求めると, 1(重解)と4 as= a= Aを対角化する直交行列 Pをつくるためにa, az a:を正規直交化する。 直交化についてはa, a:の2つだけ行えばよい。 asは正規化だけすれば十- a2-(a2, b,)b」 6,= a3 b. a」 63 により, la.l" |a2-(a2, bi)b」|' |as -1//2 1//2 -1//6 b=| -1//6 2//6 1//3 1//3 bi b。= D 0 -1//2 -1/V6 1//3 -1//6 1//3 0 2//6 . P=(b. b2 ba)=| 1/V2 1//3 100 とおくと, Pは直交行列で, P-'AP='PAP=| 0 10 004. m 須題13-3 m 解答は 実対称行列A を直交行列により対角化せよ。 2 2 1 -1 3 2 5 -2 3 -1 1

この行列を対角化する直交行列を求める問題です、ここまでやったのですが、この先はどのようにすれば良いのですか？

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この問題わかる方いましたらお教えお願い致します。

(①) 和正規化カメラを超定し, 3 次元点 1.5.20) が投影される位置を正規化画人 標系で求めなさい, 衝 To主 ノn0

(4)の問題を答えは出さなくていいので解き方を教えてください。

0 | について, 以下の問いに答えよ。 9 1. 行列4= 0 1 1 0 0 1 (①) 4の固有値4,る4,を求めよ。ただし, 4<ん<るとする。 (②) 4 の正規化した固有ペクトルを求めよ。ただし, 4 =ろり7=12.3) とする。 (3③) 4をア'!4ア=の (ただし, Pは直交行列, のは対角行列) として対角化した とき, ア, "およびのを求めよ。 (④ ③で求めたのに対して, "(4+ gg)"アを求めよ。ただし, は3 次の単位 行列。 4は実定数、ヵは正の了数とする。

(3)の正規直交基底のところから教えて頂けませんか？

問題2 高々2次の実係数多項式全体が成す線形空間を と=fg+な+oc [gc=誠と する. ただし,A は実数全体の集合であり, x は実数値をとる変数とする. また, 多項式 7(*), 9+) の和とスカラー倍は. (7+のG0=7G)+ 9で). (が)G) =47G) と定義する. 以下の設問に答えよ。 (1) も 1+ x+) は線形空間 と の基底となることを示せ. (⑫) 任意の, 9eとに対して (. の=/(-Dg(-)+7(0)9(0)+/①90) なる演算 を定義する. この演算 (/, の) は以下の内積の性質それぞれを満たすことを示 せ. ① 任意の ge に対して 7.の=@ の @ 任意の の んeア に対して(7. 9+がの=, の+げ. が 任意の , 9のer と任意の実数 4 に対して (が. の=えた, の ④ 任意の /=ア に対して (,=0 で, 等号成立は /(<)=0 のときに限る. 3) ⑫)で定義した内積 (/, の) のもとで 1 x 3"-2 は直交することを示せ. さらに, 1 * 3 2 を正規化して ア の正規直交基底を1組定めよ. (④ 3)で求めた の正規直交基底を (万, 万, 万) とする. 線形空間 と から 3次元の数ペクトル空間 * への線形写像 を 0=q・ の0+9=o, rtマ)=g で定めるとき, 《, ちち)と 人a, 6, 6) に関する e の表現行列 4 を 求めよ, ただし q, , c』 は" の線形独立な数ベクトルとする。 (⑮) 4。 の行列式, 逆行列を求めよ。