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Physics Undergraduate

ใ“ใฎๅ•้กŒใŒใ‚ใ‹ใ‚‰ใชใ„ใŸใ‚ใ€่งฃ่ชฌใจ่งฃ็ญ”ใ‚’ใ‚ˆใ‚ใ—ใใŠ้ก˜ใ„ใ—ใพใ™๏ผ๏ผ๏ผ

4. ๅนณ้ขไธŠใฎ่ณช้‡ m ใฎ่ณช็‚นใŒๅŽŸ็‚นใ‹ใ‚‰ใฎๅค‰ไฝใซๆฏ”ไพ‹ใ™ใ‚‹ๅพฉๅ…ƒๅŠ›ฤ’= (-kx,-ky)ใ‚’ๅ—ใ‘ใฆๅŽŸ ็‚นใฎใพใ‚ใ‚Šใ‚’้‹ๅ‹•ใ—ใฆใ„ใ‚‹ใ€‚ ไปฅไธ‹ใฎๅ•ใซ็ญ”ใˆใ‚ˆใ€‚ (1) ่ณช็‚นใฎ้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใ‚’ๆˆๅˆ†ใ”ใจใซ่กจ็คบใ›ใ‚ˆใ€‚(้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใฎๆˆๅˆ†ใจๆˆๅˆ†ใ‚’่จ˜ใ™) 1 (2)ใ“ใฎๅŠ›ใฏใ€ใƒใƒ†ใƒณใ‚ทใƒฃใƒซ U (x,y)=1/2k(x2+2)ใ‚’ๆŒใคไฟๅญ˜ๅŠ›ใงใ‚ใ‚‹ใ€‚ไฟๅญ˜ๅŠ›ใจใƒใƒ†ใƒณใ‚ทใƒฃ ใƒซใฎ้–“ใซๆˆใ‚Š็ซ‹ใค้–ขไฟ‚ๅผใ‚’็ขบ่ชใ›ใ‚ˆใ€‚ 1 (3)ใ“ใฎใจใใ€ๅ…จใ‚จใƒใƒซใ‚ฎใƒผ: /mo2+U(x,y) ใฏๆ™‚้–“ใซใ‚ˆใ‚‰ใชใ„ใ€‚ใ“ใ‚Œใ‚’็ฌฌ10ๅ›žๆผ”็ฟ’ๅ•้กŒ 5. ใฎ (3) ใซใชใ‚‰ใ„็คบใ›ใ€‚ใ“ใ“ใงใ€ใฏ+cใงใ‚ใ‚‹ใ€‚

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Physics Undergraduate

็‰ฉไฝ“ใฎ่ฝไธ‹ใจ็ฒ˜ๆ€งๆŠตๆŠ—ๅŠ›ใซ้–ขใ™ใ‚‹ๅ•้กŒใงใ™ใ€‚ๆœ€ๅˆใฎๅ›ณใ‚’ๆ›ธใๅ•้กŒใ‹ใ‚‰ใ‚ใ‹ใ‚Šใพใ›ใ‚“ใ€‚ใ‚ใ‹ใ‚‹ๆ–นใ„ใ‚‰ใฃใ—ใ‚ƒใ„ใพใ™ใ‹๏ผŸใ‚ˆใ‚ใ—ใใŠ้ก˜ใ„ใ—ใพใ™ใ€‚

ๅ•้กŒ2 ่ณช้‡ใฎ่ณช็‚นใฎ็ฉบๆฐ—ไธญใซใŠใ‘ใ‚‹่ฝไธ‹ใ‚’่€ƒใˆใ‚‹. ่ณช็‚นใซใฏ้‡ๅŠ›, ใŠใ‚ˆใณ็ฉบๆฐ—ใซใ‚ˆใ‚‹็ฒ˜ๆ€งๆŠตๆŠ—ๅŠ› ใŒใฏใŸใ‚‰ใ„ใฆใ„ใ‚‹. ็ฒ˜ๆ€งๆŠตๆŠ—ๅŠ›ใฎๅคงใใ•ใฏ่ณช็‚นใฎ้€Ÿๅบฆใซๆฏ”ไพ‹ใ—ใ€ใใฎๆฏ”ไพ‹ไฟ‚ๆ•ฐใ‚’ใ‚“ > 0 ใจใ™ใ‚‹. ้‡ๅŠ›ๅŠ ้€Ÿๅบฆใ‚’g ใจใ™ใ‚‹. ้‰›็›ดไธ‹ๅ‘ใใ‚’y่ปธใจใ™ใ‚‹. ไปฅไธ‹ใฎๅ•ใ„ใซ็ญ”ใˆใ‚ˆ. 1. ่ณช็‚นใจy่ปธใ‚’ๆใ, ่ณช็‚นใซใฏใŸใ‚‰ใ้‡ๅŠ›ใจ็ฒ˜ๆ€งๆŠตๆŠ—ๅŠ›ใ‚’็Ÿขๅฐใจใ—ใฆๅ›ณใซๆใๅ…ฅใ‚Œใ‚ˆ. ใพ ใŸใ€ใใ‚Œใžใ‚Œใฎๅคงใใ•ใ‚’ๅ›ณใซๆ›ธใๅ…ฅใ‚Œใ‚ˆ(ใ€Œๅคงใใ•ใ€ ใŒ่ฒ ใฎๅ€คใซใชใ‚‰ใชใ„ใ‚ˆใ†ใซๆณจๆ„!). 2. ่ณช็‚นใฎ้‹ๅ‹•ใ‚’่จ˜่ฟฐใ™ใ‚‹้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใ‚’ๆ›ธใ‘. 3. ๆ™‚้–“ใฎ็ตŒ้Žใจใจใ‚‚ใซ่ณช็‚นใฏ้‡ๅŠ›ใฎๅฝฑ้ŸฟใงๅŠ ้€Ÿใ—, ใใ‚Œใซไผดใ„็ฒ˜ๆ€งๆŠตๆŠ—ๅŠ›ใŒๅข—ๅคงใ™ใ‚‹. ๅๅˆ† ใซๆ™‚้–“ใŒ็ตŒใคใจ่ณช็‚นใซใฏใŸใ‚‰ใ้‡ๅŠ›ใจ็ฒ˜ๆ€งๆŠตๆŠ—ๅŠ›ใŒใคใ‚Šๅˆใ„, ่ณช็‚นใฎ้€Ÿๅบฆใฏไธ€ๅฎšๅ€คใซ ้”ใ™ใ‚‹ (็ต‚้€Ÿๅบฆใจใ„ใ†). ่ณช็‚นใŒ็ต‚้€Ÿๅบฆใซ้”ใ—ใŸใจใๅŠ ้€ŸๅบฆใŒ0ใงใ‚ใ‚‹ใ“ใจใ‚’่ธใพใˆใฆ ้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใ‚’่งฃใใ“ใจใชใf ใ‚’ๆฑ‚ใ‚ใ‚ˆ. 4. ้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใ‚’่งฃใ‘. ใพใŸ, ้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใฎ่งฃy(t) ใ‚’ๆ™‚้–“ๅพฎๅˆ†ใ—, tโ†’โˆžใฎๆฅต้™ใ‚’ใจใ‚‹ใ“ใจ ใง็ต‚้€Ÿๅบฆ limtโ†’ รฝ (t) ใ‚’ๆฑ‚ใ‚, ๅ‰ๅ•ใงๅฐŽใ„ใŸ็ญ”ใˆใจไธ€่‡ดใ™ใ‚‹ใ“ใจใ‚’็ขบ่ชใ›ใ‚ˆ.

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Physics Undergraduate

่‡ณๆ€ฅใŠ้ก˜ใ„ใ—ใพใ™โ€ผ๏ธ ๅคงๅญฆใฎ่ชฒ้กŒใงใ“ใ‚ŒใŒๅ‡บใ•ใ‚ŒใŸใฎใงใ™ใŒใฉใ†ใ‚„ใฃใฆ่งฃใ„ใŸใ‚‰ใ„ใ„ใ‹ๅ…จใใ‚ใ‹ใ‚Šใพใ›ใ‚“ใ€‚่ชฐใ‹ๅˆ†ใ‹ใ‚‹ๆ–นใ‚ˆใ‚ใ—ใใŠ้ก˜ใ„ใ—ใพใ™๐Ÿ™‡

ไธ€ๆง˜ใช้‡ๅŠ›ใฎใ‚‚ใจใงใฎใƒญใ‚ฑใƒƒใƒˆใฎ้‹ๅ‹•ใ‚’่€ƒใˆใ‚‹ใ€‚ ใชใŠ, ้‰›็›ดไธŠๆ–นใ‚’yใจใ—, ใƒญใ‚ฑใƒƒใƒˆใฎ ่ณช้‡ใ‚’ m, ้‡ๅŠ›ๅŠ ้€Ÿๅบฆใ‚’g ใจใ™ใ‚‹ใ€‚ 1. ใƒญใ‚ฑใƒƒใƒˆใŒไธ€ๅฎšใฎๅ‰ฒๅˆฮฑใงใ‚ฌใ‚นใ‚’็‡ƒ็„ผใ—,ไธ‹ๆ–นใซไธ€ๅฎšใฎ็›ธๅฏพ้€Ÿๅบฆuใงใ‚ฌใ‚นใ‚’ๅ™ดๅ‡บ ใ—ใชใŒใ‚‰้‰›็›ดใซไธŠๆ˜‡ใ—ใฆใ„ใ‚‹ใ€‚ใƒญใ‚ฑใƒƒใƒˆใฎ้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใ‚’่จ˜่ผ‰ใ—, ใใฎ้‹ๅ‹•ๆ–น็จ‹ๅผใฎ ่งฃใ‚’ๆฑ‚ใ‚ใ‚ˆใ€‚ใŸใ ใ—, ๅˆๆœŸๆกไปถใฏใ€ t=0ใงy=0,v=0, m=mo ใจใ™ใ‚‹ใ€‚ 2. ใƒญใ‚ฑใƒƒใƒˆใŒไธ‹ๆ–นใซ็›ธๅฏพ้€Ÿๅบฆใงใ‚ฌใ‚นใ‚’ๅ™ดๅ‡บใ—ใชใŒใ‚‰, ้‰›็›ดไธŠๆ–นใซ้€ฒใ‚“ใงใ„ใ‚‹ใ€‚ใฉใฎ ใ‚ˆใ†ใชๅ‰ฒๅˆใงใ‚ฌใ‚นใ‚’ๅ™ดๅ‡บใ—ใŸใ‚‰ใ€ใƒญใ‚ฑใƒƒใƒˆใฏไธ€ๅฎšใฎๅŠ ้€Ÿๅบฆ ฮฑใงไธŠๆ˜‡ใ™ใ‚‹ใ‹?

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Physics Undergraduate

๏ผˆ6๏ผ‰ใจ๏ผˆ8๏ผ‰ใ‚’ๆ•™ใˆใฆ้ ‚ใใŸใ„ใงใ™ใ€‚

่ฟ‘่ปธๅ…‰็ทšใจ ใŸใ‚ใซใฏใ€้กใฎ้ซ˜ใ•ใฏใ„ใใ‚‰ไปฅไธŠใชใ‘ใ‚Œใฐใชใ‚‰ใชใ„ใ‹. [4] ๅ…‰็ทšใŒๅนณ่กŒๅนณๆฟใ‚ฌใƒฉใ‚นใ‚’้€้Žใ™ใ‚‹ใจใ, (1) ๅ…ฅๅฐ„ๅ…‰็ทšใจ้€้Žๅ…‰็ทšใŒๅนณ่กŒใงใ‚ใ‚‹ใ“ใจใ‚’็คบใ› . [3] ่บซ้•ท 170cm ใฎไบบใŒๅž‚็›ดใซ็ฝฎใ‹ใ‚ŒใŸ้กใฎๅ‰ใซ็ซ‹ใคใจใ,่‡ชๅˆ†ใฎๅ…จ่บซใฎๅงฟใ‚’่ฆ‹ใ‚‹ ใ‚ฌใƒฉใ‚นใฎๅฑˆๆŠ˜็އใ‚’n, ๆฟใฎๅŽšใ•ใ‚’d,ๅ…ฅๅฐ„่ง’ใ‚’0ใจใ™ใ‚‹ใจ, ๅ…ฅๅฐ„ๅ…‰็ทšใจ้€้Ž (2) ๅ…‰็ทšใฎใšใ‚Œใฎ่ท้›ข โ–ฒใฏ A = d cos 0 Vn2 - sin20 ๅ…‰ๆบ -aโ†’o ใจใชใ‚‹ใ“ใจใ‚’็คบใ› . [3] ๅ›ณ6.15ใฎใ‚ˆใ†ใซ,็›ด่ง’ใซ็ฝฎใ‹ใ‚ŒใŸ2ๆžšใฎ้กใŒใ‚ใ‚‹. ใใ‚Œใžใ‚Œใฎ้กใ‹ใ‚‰่ท้›ข ฮฑ, ใ‚‚ใฎไฝ็ฝฎใซ็ฝฎใ‹ใ‚ŒใŸๅ…‰ๆบใฎๅƒใ‚’ๆฑ‚ใ‚ใ‚ˆ. ใฎๅ…จ้ข็ฉใ‚’ๆฑ‚ใ‚ใ‚ˆ.ใŸใ ใ—, ๆฐดใฎๅฑˆๆŠ˜็އใ‚’ 1.33 ใจใ™ใ‚‹. [6] ๆฐดๆทฑ 2.75m ใฎใƒ—ใƒผใƒซใฎๅบ•ใซ็‚นๅ…‰ๆบใ‚’ๆฒˆใ‚ใŸ. ๅ…‰ใ‚’ๆฐด้ขใ‹ใ‚‰ๆ”พๅ‡บใ—ใฆใ„ใ‚‹ๆฐด้ข [7] ๅŠๅพ„10cm ใฎๆฐดๆ™ถใฎ็މใฎ่กจ้ขใ‹ใ‚‰8.0cmใฎๆทฑใ•ใฎใจใ“ใ‚ใซ,็›ดๅพ„ 5.0mm ใฎ ็ƒๅฝขใฎไธ็ด”็‰ฉใŒใ‚ใ‚‹. ใ“ใฎไธ็ด”็‰ฉใ‚’็œŸไธŠใ‹ใ‚‰่ฆ‹ใŸใจใ, ไธ็ด”็‰ฉ็ƒใฏ่กจ้ขใ‹ใ‚‰ใฉใ‚Œใ ใ‘ ใฎๆทฑใ•ใซใ€ใฉใ‚Œใใ‚‰ใ„ใฎๅคงใใ•ใซ่ฆ‹ใˆใ‚‹ใ‹.ใŸใ ใ—, ๆฐดๆ™ถใฎๅฑˆๆŠ˜็އใ‚’1.54 ใจใ™ใ‚‹. [8] ็„ฆ็‚น่ท้›ข 12 cm ใฎๅ‡ธใƒฌใƒณใ‚บใจๅ‡นใƒฌใƒณใ‚บใฎๅ‰ๆ–นใซ,ใใ‚Œใžใ‚Œ้ซ˜ใ• 1.0cm ใฎ็‰ฉไฝ“ ใ‚’็ฝฎใ„ใŸใ€‚ใƒฌใƒณใ‚บใ‹ใ‚‰็‰ฉไฝ“ใพใงใฎ่ท้›ขใŒๆฌกใฎๅ ดๅˆใซใคใ„ใฆ, ๅƒใฎโ‘  ไฝ็ฝฎ, โ‘ก ้ซ˜ใ• โ‘ข ๅฎŸๅƒ ่™šๅƒใฎๅˆฅ,ใŠใ‚ˆใณๆญฃ็ซ‹ใƒปๅ€’็ซ‹ใฎๅˆฅใ‚’ๆฑ‚ใ‚ใ‚ˆ. (1) 24cm (2) 6cm [9] ๅ‡ธใƒฌใƒณใ‚บใจๅ‡นใƒฌใƒณใ‚บใฎ็ตๅƒใฎๅ…ฌๅผใ‚’, a ใ‚’ๆจช่ปธ, bใ‚’็ธฆ่ปธใซใจใฃใฆใ‚ฐใƒฉใƒ•ใงๆใ‘. MG 15 sin 0 ็œผ ใŸใ ใ—, ๅ…‰็ทšใฏ

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Physics Undergraduate

ใฉใชใŸใ‹ใ‚ใ‹ใ‚‹ๆ–นใŠใ‚‰ใ‚Œใพใ›ใ‚“ใ‹๏ผŸ

ๅ•้กŒ ใ‚‰ใ›ใ‚“ใ‚’ๆŠ˜ใ‚‹ ๅ›ณใฎใ‚ˆใ†ใซ, ไธ€็‰‡ใฎใชใŒใ•ใฎๆญฃๆ–นๅฝขใฎๆŠ˜ใ‚Š็ด™ใซๅ‘จๆœŸ็š„ใชๅฑฑๆŠ˜ใ‚Šใจ่ฐทๆŠ˜ใ‚ŠใฎๆŠ˜ใ‚Š็ทšใ‚’ๅ…ฅใ‚Œใ‚‹ใ€‚ ๅ‘จ ๆœŸใ‚’N ใจใ™ใ‚‹ใ€‚ (1) N=4ใ‚„N=6ใใ‚‰ใ„ใฎๅ ดๅˆใซๅฎŸ้š›ใซๆŠ˜ใ‚Š็ด™ใ‚’ๆŠ˜ใฃใฆใฟใฆ, ใญใ˜ใ‚ŒใŸๆ›ฒ้ขใŒๅพ—ใ‚‰ใ‚Œใ‚‹ใ“ใจใ‚’ ็ขบใ‹ใ‚ใ‚ˆใ€‚ ็ดฐ้•ทใ„็ด™ใงๆŠ˜ใฃใฆๅฐ‘ใ—ๅบƒใ’ใ‚‹ใจ, ใ‚‰ใ›ใ‚“ใŒใงใใ‚‹ใ€‚ ๆๅ‡บไธ่ฆใ€‚ ๅ„่‡ชใงใ‚„ใฃใฆใฟใ‚‹ใ ใ‘ ใงOKใ ใŒใ€ ใƒฌใƒใƒผใƒˆใซๅ†™็œŸใชใฉใ‚’ๆทปไป˜ใ™ใ‚ŒใฐใชใŠใ‚ˆใ„ใ€‚ (2) ๅ›ณใฎๅ‘ใ‹ใ„ๅˆใ†ไบŒใคใฎ่พบaใจใฏไบ’ใ„ใซใ ใ‘ๅ›ž่ปขใ™ใ‚‹ใ€‚ Nโˆžใฎใจใ, ้‡ใŒใฉใฎใ‚ˆใ†ใช ๅ€คใซๅŽๆŸใ™ใ‚‹ใ‹ใ‚’ใ€ ๆฌกใฎๆ–นๆณ•ใซใ—ใŸใŒใฃใฆๆฑ‚ใ‚ใ‚ˆใ†ใ€‚ (2.1) ๅ›ณใซ็คบใ™่ง’ๅบฆใ‚’0ใจใ™ใ‚‹ใ€‚ ใ“ใฎใจใ, ๅนพไฝ•ๅญฆ็š„ใช่€ƒๅฏŸใซใ‚ˆใฃใฆ tan0 = 1/2 N ใ‚’็คบใ›ใ€‚ = 2N0. ใง่กจใ•ใ‚Œใ‚‹ใ“ใจใ‚’็คบใ›ใ€‚ (2.2) Nโˆžใฎใจใ, ่ปŠใฎๅ€คใ‚’ๆฑ‚ใ‚ใ‚ˆ (ๅ˜ไฝใฏradใง)ใ€‚ (3) ใŸใจใˆใฐ, A4็”จ็ด™ใ‚’ไธŠใฎใ‚ˆใ†ใซๆŠ˜ใฃใฆใ‹ใ‚‰, a b ใ‚’่ฟ‘ใฅใ‘ใ‚‹ใจ, ๅ›ณใซ็คบใ™ใ‚ˆใ†ใช็ซ‹ไฝ“ใŒ ๅพ—ใ‚‰ใ‚Œใ‚‹ใ€‚ N ใ‚’ๅๅˆ†ๅคงใใใ™ใ‚‹ใจ, ใ“ใ‚Œใฏๅ›ž่ปขๅŒๆ›ฒ้ขใซ่ฟ‘ใฅใ„ใฆใ„ใใ€‚ ไธŠ้ขใจไธ‹้ขใฎๅŠๅพ„ใŒ ฮฑ ไธญ ๅคฎใฎๆœ€ใ‚‚ใใณใ‚ŒใŸ (็ดฐใใชใฃใŸ) ๅ ดๆ‰€ใฎๅŠๅพ„ใŒr, ้ซ˜ใ•ใŒใ‚“ใฎๅ›ž่ปขๅŒๆ›ฒ้ขใฏ(ใŸใจใˆใฐ) (1) r2+yยฒ -4 -4 (0ยฒ12ยนยฒ) 2ยฒ = h2 (2)

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Physics Undergraduate

้ซ˜ๆ ก็‰ฉ็†ๅŸบ็คŽใงใ™ใ€‚ ใ“ใฎ๏ผˆ1๏ผ‰ใจ๏ผˆ2๏ผ‰ใฎ่งฃ็ญ”ใŠ้ก˜ใ„ใ—ใพใ™ใ€‚ ็ฐกๅ˜ใชๆ–‡็ซ ใง่‰ฏใ„ใงใ™ใ€‚ใ‚ˆใ‚ใ—ใใŠ้ก˜ใ„่‡ดใ—ใพใ™๏ผ

(1) ้ง…ใงๅœ่ปŠใ—ใฆใ„ใ‚‹้›ป่ปŠใซไน—ใ‚Šใ€ๅ‘ใ‹ใ„ๅดใซๅœ่ปŠใ—ใฆใ„ใ‚‹้›ป่ปŠใ‚’่ฆ‹ใฆใ„ใŸใ€‚ ๅฎŸ้š›ใฏใ€Œ่‡ชๅˆ†ใฎไน—ใฃใฆใ„ใ‚‹้›ป่ปŠใฏๅœ่ปŠใ— ใŸใพใพใงใ€ๅ‘ใ‹ใ„ๅดใฎ้›ป่ปŠใŒๅณๅ‘ใใซๅ‹•ใใ ใ—ใŸใ€ใฎใซใ€ ใ€Œๅ‘ใ‹ใ„ใฎ้›ป่ปŠใŒๅœ่ปŠใ—ใŸใพใพใง่‡ชๅˆ†ใฎไน—ใฃใฆใ„ใ‚‹้›ป่ปŠใŒ ๅทฆๅ‘ใใซๅ‹•ใๅ‡บใ—ใŸใ€ใจ้Œฏ่ฆšใ—ใŸใ€‚ ใ“ใฎใ‚ˆใ†ใซ้Œฏ่ฆšใ™ใ‚‹็†็”ฑใ‚’ใ€ ใ€Œ็›ธๅฏพ้€Ÿๅบฆใ€ใจใ„ใ†่ชžๅฅใ‚’ไฝฟใ„ใ€ ๆ•™็ง‘ๆ›ธใ‚„ใ‚คใƒณใ‚ฟใƒผใƒใƒƒ ใƒˆใ‚’ๅ‚่€ƒใซ่ชฌๆ˜Žใ—ใชใ•ใ„ใ€‚ (2) ้‡Ž็ƒใงใ‚‚ใ€ใƒใ‚นใ‚ฑใƒƒใƒˆใƒœใƒผใƒซใงใ‚‚, ใ‚ตใƒƒใ‚ซใƒผใงใ‚‚ใ€ ็ฉบไธญใ‚’ไธ€็›ด็ทšไธŠใง้€ฒใ‚€ใ‚ˆใ†ใซใƒœใƒผใƒซใ‚’ๆŠ•ใ’ๅ‡บใ—ใŸใ‚Šใ‘ใ‚Šๅ‡บใ—ใŸใ‚Šใ™ ใ‚‹ใ“ใจใฏใงใใชใ„ใ€‚ ใ“ใฎ็†็”ฑใ‚’ใ€ใ€Œ็ญ‰้€Ÿ็›ด็ทš้‹ๅ‹•๏ฝฃใ€ ใ€Œ่‡ช็”ฑ่ฝไธ‹้‹ๅ‹•ใ€ใจใ„ใ†่ชžๅฅใ‚’ไฝฟใ„, ๆ•™็ง‘ๆ›ธใ‚„ใ‚คใƒณใ‚ฟใƒผใƒใƒƒใƒˆใ‚’ ๅ‚่€ƒใซ่ชฌๆ˜Žใ—ใชใ•ใ„ใ€‚

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