解析学のフーリエ級数に関する問題です。 教えていただけるとありがたいです。よろしくおねがいします。

問題1区間 [0, T]で定義された関数 f(z) = z° のフーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数をそ れぞれ求めよ。 (ヒント:f(x) =2?を(周期をもつ)奇関数,偶関数に拡張する)

量子力学、有限井戸型ポテンシャルの問題です。 (5)がわかりません。V_＊=π^2hbar^2/8ma^2と求めました。

以下の問I、II に答えよ。ただし、プランク定数を 2mで割った定数をんとする。 I.1次元のポテンシャル中の質量mの粒子を量子カ学的に取り扱う。粒子の座標をとし、ポテ ンシャルをV(z)とする。aと %を正の定数として、図1のように| >«の領域でV(z)= % で|<』の領域でV(z) = 0のとき、V%の値を小さくしていったところ、V%<V,のときに東 縛状態が一つだけになった。 (1) 図2のようにV% が無限大のとき、すなわち ||>aの領域でV(z) が無限大で || Saの領 域でV(a) = 0のとき、基底状態のエネルギーおよび第1励起状態のエネルギーを求めよ。 (2) 図1のポテンシャルでV%> V,のとき、基底状態の波動関数および第1励起状態の波動関 数の概形を描け。 (3) 図1のポテンシャルでV%> V。のときを考え、基底状態のエネルギーと第1励起状態のエ ネルギーをそれぞれ Eo, E, とする。このポテンシャルを、図3のように、a<0の領域で はV(z) が無限大となるように変更する。変更後の系の基底状態のエネルギー Eを Eと EEのうちの必要なものを用いて表せ。 (4) V,を求めよ。 (5) 図4のように、|2| < 3a の領域および ||> 5a の領域でV(z) = V./2で3a< ||| < 5aの領 域でV(z) = 0のとき、束縛状態の数を答えよ。厳密に導出する必要はないが、根拠を簡 潔に記すこと。またすべての束縛状態の波動関数の概形をエネルギーが小さい順に描け。 V(2) V(2) V% * E ーa 0 a ーa 0 a 図1 図2 V(2) V(x) Vo Iv./2 0 a ー5a -3a 0 3a 5a 図3 図4

奇関数となるのがわからないです。

別解 T af(cos.a)de: | f(cos a)da 置換積分のしかたを変えて解い てみます。 2 「(+)(cosa) da= …3 2 だから,3 が成り立つことを示せばよい。 T t=+ とおくと 2 のとき 2 ーt=ェ+ de = dt の左辺= (cos (t-)) T tf( dt ーT T 2 f(sin t)dt ここで,f(z) は偶関数だから f(sin(-t) = f(- sint) = f(sint) ゆえに,tf(sin t) は奇関数であり f(sin t)dt = 0 よって,3 は成り立つ。 ■解法のポイント(121 偶関数 f(z), 奇関数 g(a) に対しては ra | (x) da = 2| f(x)da, | g(2)da a が成り立つ。 リニ

｢f′が奇関数ならばfは偶関数である｣という命題は正しいですか？ 正しいのだったらできればなぜそうなのか証明をお願いしたいです。

わかりやすく解説していただけないでしょうか…

【問題 1) 2元を周期とするxの周期関数 Ax)のフーリエ係数および級数が,x)の性質に応じて 次のようになることを証明せよ。 * 奇関数 (-x)=-f(x): 4, = 0, n=0,1,2,…,b, ==% S(x)sin nxdx, n=1,2,… (x)= E6, sin nx * 偶関数 (-x)= S{x): 2 a, = -5lx)cos nxdx, n = 0.1,2,…, b, = 0, n=1,2,… S(x)=+ Ea, cos nx - com COS 2 =1

フーリエ級数です 分かる方お願いします 答え合わせをしたいです

fcx)=xレーズミxと穴),f(ス+2テ)=3x) を7ーリ上動展開せよ しチ ()

単純な積分の問題なのですが、(偶関数の性質)と書いてありますが、偶関数ではなく奇関数じゃないですか？ 教科書のミスですか？

(2) (2.11) より, ae)- fz(3) = / eー w 2元 8 1 2ne-(2+1)w°du (偶関数の性質) 三ー r8 1 e-udu 三 T(22+1) 1 (u (22+1)w?とおくと du= (2+1)uwdw となることに舗 2 1 となる。この分布をコーシー分布とよぶ. ロ

なぜ、2回目の微分のところで2xのXが0以上となるのでしょうか 写真2枚目の一番最初ににある「両辺は正より」とありますが、Xが-0、5などの時正になりますか？

グラフの概形(Ⅲ) 演習問題 54 1+x 関数y= tanh-'x=→log (-1<x<1)の増減凹凸を調べて、 x グラフの概形を描け。 y=f(x) = tanh-'x=とおいて, まず, f(-x)= -f(x) を確認する。 ヒント! 解答&解説 y=f(x) = tanh-"'x={log(1+x) -log(1-x)} (-1<x<1)とおく。 f(-x)={log(1 -x)-1og(1+x)}=-→{log(1+x)-log(1-x)}=-ル f(-x) = -f(x) より, y=f(x) は奇関数。 原点に関して対称なグラフ よって,0Sx<1についてのみ調べる。 * cosh-'x=log(x+vr-1 f (x) = {4+x)_ (1-x) +x 2 1 1-x * sinh 'x= log(x+Vx*+1 1 =i+x 1 2 2 1 >0 1-x * tanh 'x=→log 1+x ニ 1 1-r? 1-x より,f(x) は単調に増加する。 0以上 今何で? f"(x) = - (1-x')-2. (- 2x) = 2) 20 増減·凹凸表(x20) (トネ)ー」 より,f(x)(0 ハx<1) は下に凸である。 x 0 *f(0) =0 1 1 原点における接線は, 直線y=x S(x) + 1 『(x)| 0

確率の問題です。分かる方いましたら、解説お願い致します。

ょを自然数とし、確率族数 は に従う とする。つまり、X は連続確率変数であり、その確率密度は 1 av 0ーTgCrUT 。 6展 である*2。このとき次の問いに答えよ。 ドー 1 のとき、選[|X| | = oo となることを示せ。 > 2 ならば 万え] を求めよ。

この問題の（3）が、意味不明です 教えてください

ZI[2020 鹿応義塾大] 全体でだ幸された才な9) に対し9 1) 22 とおく。 ⑪ 8 のとき, 99=「 である。 (② 実数全体で定義された連続な関数 /(々) に対し, g(る) は奇関数であることを示せ。 (9) 9) =Sin のとき, g(<) の導身数 の(る) を求めると。 の(3) = | |でぁる。 (④⑰ /(*) が個関数であり, 9(⑳ =*6二3* となるとき, (9 =リ である。このとき, U/のzz休ま コ Gy Q①⑪ (?⑦ =ニ* のとき 1 9(3) = <す-99に | ん ンコ 引-と邊= 2(ー すりニ アー 6 (⑫ 7一ターとすると g@王gz 6 また, ,と z の対応は右のようになる。 - ようっで| 』9⑳) 当 への である。 1022 このとき (ーー?ミニ 和還 72kニー(「e702kニーg) したがって, 9(?) は奇関数である。 (⑬ 2~""* の原始関数を 4) とすると g(⑰ニ本頂一の 2 よって の(④=ア"(ガーが(9.(ーザーーの中2-(ニガーィ6を守 -⑨ デ+ 3z=( 両辺を *で微分すると 3%2 3ニープ⑦ 一 ゥバーの ー7⑲Zz