量子力学・スピンハミルトニアンの時間発展について質問です。(1)〜(3)までは画像2枚目のように解いたのですが、(4)(5)の計算がとても煩雑になってしまいました。この方針で大丈夫なのでしょうか？また、(6)が分かりません。どのように考えればよいのでしょうか？

II. 図3のように番号;= 1,2,3で区別される3つのスピンがあり、それぞれ2軸方向に上向 きと下向きの2つの状態 |0);, [1}; をとることができる。2種類の相互作用 角,。を選択的に 切り替え、1番目と2番目のスピンの状態を3番目のスピンによって制御する。簡単のためプ ランク定数を2で割った定数んを1とし、相互作用白,白および時間tを無次元量として取 り扱う。 自。 ○ン 0 9 三 図3 ここで、1は恒等演算子、9, o9は番目のスピンの演算子,の行列表現である。各演 算子は10); = |0):, of° |1}; = -|1); を満たす。また、3つのスピンからなる状態を|1,0)|0}= |1);|0)2|0)s などと記すことにする。 (1) (),(o)°, of o) + ooを計算せよ。 (2) 9 を 10);, |1);に作用させた結果をそれぞれ示せ。 C○ (3) 白のもとでの時間発展演算子む(t) = exp(-8白t) = とーを白t)”が n! n=0 0(t) = cos° (t)i - sin° (t)a{)a£) + icos (t) sin (t)(o{) + )) を満たすことを示せ。ただし、一般に可換な演算子A, Bについて、e(4+B) - eáeb が成り 立つことに留意せよ。 (4) 白のもとで時間む、続いてのもとで時間tzだけ相互作用したときの時間発展は ()()= exp(-iHnt) exp(-iAt)と記述される。10,0)|0), I0,1)|0), |1,0) |0), |1, 1)|10) の4つの状態がひっ(n/4)0,(m/4) の時間発展をしたあとの状態をそれぞれ書き下せ。 次に、ある状態() = a|0,0) |0) + |1,1}10} (a, 8 は定数)を用意したところ、予期せぬ相互作 用により、1番目のスピンが微小回転してしまい、状態|)= VI-) + €)に変化し た。eの具体的な大きさは分からないが、状態|)をもとの状態」)に戻したい。 (5) 状態」)を問(4) のD2(T/4)ü,(T/4) によって時間発展させると、 Us(r/4)(r/4)) = \)) + i¢)10) という状態に変化した。1番目と2番目のスピンからなる状態|), o)をそれぞれ具体 的に書き下せ。 (6) 問(5) の状態に対し、3番目のスピンの測定をおこなうと、状態|)|1) と状態|o)|0)の いずれかが得られる。それぞれの状態に対してさらに個別にある演算子を作用させると、 微小回転量eの情報なしに状態 |) に戻せる。各状態について必要な演算子を答えよ。

①-②をして、kについての恒等式を立てたのですが、そのやり方では出来ませんでした。何故かわかる方いらっしゃいますか…??🙇‍♀️🙏

数字I 深音 をが実数全体を動くとき, 2つの直線4,:ky+x-1=0, la: y-kx-k=0の交点はどんな図形 111 [類立教大) を描くか。 y そk=- x+1 を利用する ky+x-1=0 0, yーkx-k==0 2とする。 交点をP(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。 のから ことから,x+1キ0と k(x+1)=y [1] x+1キ0 すなわち xキー1のとき 01 x8x+130 の場合に分ける。 の文字しを 3から k=- x+1 のに代入して y? +x-1=0 x+1 分母を払って y°+(x+1)(x-1)=0 (13-1x+(18-リ したがって x°+y°=1 4 ④において, x=-1とすると y=0 (1+ txキー1であるから, ゆえに,xキー1のとき, 2直線の交点は、円4から点 x=ー1のときの点は除 (-1, 0) を除いた図形上にある。 [2」 x+1=0 すなわち x==-1のとき 2から ソ=0 ケ x=-1, y=0は① を満たさないから, 点(一1, 0) は図形上-① は -2=0 となり, の点ではない。 以上から,求める図形は 円x+y°=1 63 (x)外する点となる。 O 査 不合理。 ただし,点(-1, 0) を除く。 引京中 09代 検討 のから ky+(x-1)=0, ② から y-k(x+1)=0 よって,直線&は常に点A(1, 0) を通り, 直線&2は常に点 B(-1, 0) を通る。 また,2直線 L, leの係数について,k·1+1·(-k)=0 である から,直線,と直線2は垂直に交わる。 ゆえに,その交点をPとすると したがって,点Pは, 2点A, Bを直径の両端とする円周上 にある。 ただし,lは直線 y=0 を, leは直線x=-1を表すことはな いから,その交点(-1,0) を除く。 し ZAPB=90° le 0=S-+vE-) B -10| A x 1

答えは4なのですが、死に続けるとはなんか変では無いですか？ １回なくなると死に続けるってゆうのは当たり前なことなのに、。って思ったのですかどうでしょうか？

424 来破類 変 y in ber It is three years since he died. He( 備で表会 1 101ed (夏) years. f gmerii C) 激 さkime ② is dead ) for three ニ O has been died 419 ③ has diedmishelRの④ has been dead yduget t(東北学院大 惑井の お9omia Oロ

(6)ですが、さらにカッコ内をxでくくることは出来ますか？

2 22 x°+x+1 X ma+=(nie (6) y'=2(xlog xーx(xlogx-x) 1 =2(xlog x -x) log x +x· 2x?+x+1 、%3D Co --1) 1 (6) tan x + X tan x ml =2(xlog x - x)log x (7) y3Dex.(4x)/3D4e*x (sin x COS X sin?x+cos'x COS X. sin x cOS YSINY

0！=1になるのはなぜですか？暗記物ですか？

矢印のところの式の変換が分かりません！！教えてください

(2x) CO 2 1 (13) y'= 2xlog 2 2xlog 4 L 7. x'aie 2xlog 4

力学・基準振動についての問題です。 (4)以降が分かりません。 (4)のように異なる固有角振動数の問題ではどのようにして基準振動を考えればよいのでしょうか？ (5)以降は同期現象だと思うのですが、どのように解けばよいのでしょうか？ちなみに(5)はΔω=2Ksin(Δφ＊)と... Read More

以下の問I、IIに答えよ。 また、結果だけでなく、導出過程も簡単に記すこと。 I長さの異なる紐をもつ二つの振り子の問題を考える。図1の ように』軸の正の方向を鉛直下向きとし、振り子の支点は2軸 上にあるとする。それぞれの振り子につけられている質量m のおもりは鉛直下向きに重力を受け、2軸に垂直な面内を運動 する。紐の長さはそれぞれい,であり、4>&とする。おも りの大きさや紐の質量は無視でき、運動の際に組はたるまな いとする。重力加速度をgとして、以下の問いに答えよ。 まず、支点でのまさつの効果を無視し、二つの振り子が独立に運動する場合を考える。紐の長 さがん,&の振り子の振れ角を、図1のように支点を通る鉛直下向きの軸となす角度として、そ れぞれ1,2とする。 図1 (1) 紐の長さが1の振り子のz軸まわりの角運動量 L。を求めよ。 (2) z軸まわりの角運動量 L,の時間微分の満たす方程式を示せ。 (3) が十分小さい微小振動のときの固有角振動数 w」を求めよ。 次に、二つの振り子の角度間に線形の相互作用がある系を考えよう。すなわち、Jを定数とし て、角度6,2 の運動方程式が d? =-w +J(B2 - h), d2 2= -5 + J(G,- Ba), と表せるとする。ここでwとwaは相互作用がないときの振り子の固有角振動数である。 (4) (t = 0) > 0, 0z(t = 0) = 0から静かに運動を始めるとき、その後の運動を基準振動の考 え方を用いて定性的に説明せよ。 dA dp 0, dt 振り子の角度0を振幅 Aと位相ゅを用いて0= Acos ¢ と表すと、単振動は、 と表される。ニつの振り子間に非線形相互作用があるとき、二つの振り子の位相1と2の時 間発展は上記のwiとw2を用いて次のように表せるとする: =W dt d の1=wi+ K sin(¢2- ), d 2= w2+ K sin(¢- p2). dt dt ここでKは定数とする。二つの位相の差 △¢ = 2- のが時間依存せずに一定の値をとること を「位相が同期する」という。 (5)位相が同期するときの位相差△がと固有角振動数の差 Aw = w2-wiの関係を求めよ。 (6) 位相が同期するときの振り子の角振動数”を求めよ。 (7) 位相差 AゅがAがから微小にずれても、十分時間が経った極限で位相が同期する条件を導 き、その条件をKとAwを軸とする平面上の領域として図示せよ。

ルートの扱い方を復習していたらよくわからなかったのですが まず、ルートの中が0以上になることはわかるのですが、今までなんとなくしか理解していなかったので教えていただきたいです。 ア→これは右辺が0以上を条件にしていますが、何故ルートの中が０位上と言うのを確認していないの... Read More

-●3 ルートがらみの方程式 不等式を解く (京都産大 (ア)(2.z-2 =1-2.zを満たす実数zの値は である。 (イ)V5-z<z+1を解け。 (ウ)不等式(3-2.r 22.zー1を解け。 (龍谷大·理系(推薦) (東京都市大) ルートがらみの方程式·不等式のことを,無理方程式·無理不生 図形問題を解くときにも現れる 式と言う。教科書的には数Ⅲの内容だが, 図形問題を解くときにも(解法によっては)現れること るので,ここで練習しておくことにしよう。 解くときの注意点 *2乗すると同値性がくずれる. 例えば, A=B=→ A?=B? であるが, A?=B?#A=Ra+ (例えば、 A=-2, B=2のとき, A?=B'だが, A=Bではない). また, AZB# A?2 33であ る(例えば、A=1, B=-2のときを考えよ).「AZB → AB'」という同値変形ができるの は,A20かつB20のときである。両辺が0以上なら, 2乗しても同値である。 *ルートの中は0以上であり, 実際にどのようにするかは, 以下の解答で 2乗してルートを解消するが, その際に注意が必要である. の値は0以上である。 ■解答 ○0のとき,右辺20により 2.ェーェ20であるから, ルートの 中は0以上であることが保証 (ア)(2.z-22 =1-2.r → 2.ェー2=(1-2.x)? 0 かつ1-2.r20 のを整理すると, 5.z?-6.r+1=0 .(r-1)(5.r-1)=0 1 れる。 1-2.r20を満たすェを求めて, x=- 5 コェ+1>/5-ェ N0により, エ+1>0. (イ)/5-r<ェ+1 → 5-x z0かつ ェ+1>0かつ5-ェ<(r+1)? -1<zS5 かつ 22+3.x-4>0 -1<z<5 かつ (エ+4)(r-1)>0 コ-1<r<5のとき, エ+4>0 (ウ)/3-2r >2.r-1…① のとき, 3-2.cN0 3 IS- 2 1° 2かつ 2.z-1<0, つまり ェくうのとき, ①は成り立つ。 介日の右辺の符号で場合分け. @ のとき,①の右辺<0なら①は成 2 1 3 2° 2かつ 2.z-120, つまり 名zハ%のとき, ①の両辺を2乗しても 立。 2 2 同値で、 3-2.z2(2ェ-1)? : 2.22-ェ-1ハ0 4.z2-2.ェ-2<0 :(2ェ+1)(e-1)<0 1であり。zs とから、ら1 3 よって - 2 1°, 2°により, 答えは, x<1 3 演習題(解答は p.55) (ア)方程式(z?+/z +z-l=0を解け。 (イ)不等式V3.?-12 Sz+4を満たすェの範囲を求めよ。 (ウ)不等式(4.ーz" >3-xを満たすェの範囲を求めよ。 (札幌学院大) (明治大·理工) ルートの中は0以上, な; どに注意して解いてい く。 (学習院大·理) 3-2 1 く-を満たす』の値の範囲は (エ) 2r である。 (関西医大)

力学・剛体の問題です。 (1),(2)は恐らくこれかな？という解を求めましたが、(3)以降が分かりません。

以下の問1, II に答えよ。 zA I. 質量m、半径r、厚さ、高さんの密度が一様な剛体とみなせる円 筒(図1)が、水平な床の上を初速度の大きさ 、初角速度の大きさ woで投げ出され、倒れずに滑っていく運動を考える。円筒底面の中 心を原点とし、円筒とともに移動する座標系のz, y, z 軸および偏角 9を図1のように定義する。y軸の正の向きは常に円筒の進行方向と する。偏角0の位置にある円筒底面が床から受ける単位面積あたり の垂直抗力の大きさ N(0) と動摩擦力の大きさ F(6) の間には、μを 動摩擦係数として比例関係 F(6) = μN(0) があるとする。 b 図1 重力加速度の大きさをgとし、重力はz軸の負の向きに働く。また,円筒の厚さ6は半径rよ り十分小さいとする。空気抵抗の影響は無視して、投げ出された円筒の運動に関する以下の問 いに答えよ。 まず、回転させないで円筒を投げ出す場合 (wo = 0) を考える。 (1) 投げ出した円筒の底面全体が受ける垂直抗力および動摩擦力の大きさを求めよ。 (2) 投げ出した円筒が動摩擦力を受けて静止するまでの距離を求めよ。 (3) 円筒に働く慣性力による原点まわりのトルクの大きさを求めよ。 (4) 投げ出した円筒が床の上を滑っているとき、円筒底面に働く垂直抗力は一様ではない。円 筒の前方(0 =T/2付近)と後方 (0 = ーT/2付近)のどちらの垂直抗力が大きいか、理由と ともに答えよ。 以下では、円筒底面に働く単位面積あたりの垂直抗力の大きさが N(0) = a+ Bsin0 と表せる と仮定する。ここでa,Bは定数とする。 (5) 垂直抗力による原点まわりのトルクの大きさをa, 8, r, bのうち必要なものを用いて表せ。 (6) 円筒が倒れずに滑っていくための条件をん, r, uを用いて表せ。 次に、右回り(z軸の正の向きから見て時計回り)に回転させて円筒を投げ出す場合(wo 0) を 考える。 (7) この円筒のz軸まわりの慣性モーメント「および円筒とともに移動する座標系での投げ出 した直後の運動エネルギーを求めよ。 (8) 円筒底面に働く動摩擦力の0依存性により、円筒の軌道は曲がる。その曲がる向きを理由 とともに答えよ。

フーリエ変換・フーリエ級数展開の問題です。 (2)の証明がうまくいきません。画像2枚目のように計算したのですが、どうしたらG^(2πm)になるのでしょうか。

III. 正の実数のパラメーターwに対して,実関数G(z) = e-wia を考え,そのフーリエ変換 をG(k) = 。da e-ka G(a) とする。また,Zは整数全体の集合を表し,Emez ゃEmez は整数全体にわたって和をとることを意味する.以下の問いに答えよ。 (1) G(k)を求めよ、 (2) Enez G(z + n) はzについて周期1の関数となる。これを用いて, EC(n) = と(2xm) nEZ mEZ が成り立つことを示せ。 (3) Emez ei(2mm) (2mm)? + w?)-1 を求めよ。