この計算のやり方を教えて欲しいです🙇‍♀️

lim x→0 2x-4x X

波線部分が理解できません😿なぜそのように言い換えられるかが不明ですよろしくお願いします🙇

EN論法で, 数列の極限を攻略しよう! 数列と関数の極限 818 一般項an が与えられたとき,その極限liman の問題は高校でも既に勉 強しているね。でも,数列{an}が極限値 αをとることを示す厳密な証明 法として,大学の数学では,e-N論法をマスターする必要があるんだよ。 イプシロン・エヌろんぼう”と読む。 まず,この “e-N論法” を下に示す。 E-N論法 正の数をどんなに小さくしても,ある自然数 N が存在して, nがn≧Nならば,|an-a|< となるとき, liman=α となる。 n→∞ これだけでは,なんのことかわからないって? 当然だね。 ここは,大学 の数学を勉強する上で, みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧 に話すよ。 この意味は,正の実数を小さな値, たとえば, c = 0.001にとったとし ても,ある自然数Nが存在して, 数列 41, 2,., an-1, ax, ax+1, … のうち n≧Nのもの, すなわち ax, ax+1, に対して, α との差αが、 (N,N+1,... ε=0.001より小さく押さえられる, と言っているんだね。 ここで,正の実数は連続性と稠密 (ちゅうみつ)性をもつので,こ を限りなく0に近づけていくことができる。 それでもあるNが存在し n≧N をみたす an について, lan -α < が成り立つといっているわけ ら, n→∞のとき, α はαに限りなく近づいてlim=α と言える だね。 納得いった? 818

この解法の意味がわからないです教えてください！！4kってなぜ置くんですか？？

例題 6 三角関数・対数関数の極限 次の極限を調べよ. NT (1) lim cos 8 2

（2）について どうゆう手順でとき進めて行くんですか？ また、なぜδは最小の値をとるんですか？ 図とか想像出来ていないので教えて欲しいです。

48第2章 関数 (1変数) 基本 例題 030 E-8 論法による等式の証明 次の等式をE-8論法を用いて証明せよ。 (1) lim (5x-3)=2 (2) lim (x2+1)=2 x-1 1 基本 指針 (1) とも, 左辺の極限値は存在して, 右辺と一致することは,すぐにわかる。 そのこい E-8論法を用いて証明せよとあるから、関数の収束の定義を今一度確認しておこう。 定義関数の極限 (E-8論法 ) 任意の正の実数に対して、 ある正の実数8 が存在して、f(x)の定義域内の 0<x-a|<8であるすべてのxについて|f(x)-α|<e となるとき、関数f(x)は 12203054 [oclx-alk8 Hon-alc x→αでαに収束するという。 ⇒ (1)証明すべきことは、「任意の正の実数に対して、ある正の実数が存在して 0<|x-1|<8 であるすべてのxについて (5x-3)-2|< が成り立つ。」である。 基本 例題 031 €18 下の指針の定理について, (1) 下の関数の極限の (2) 下の, 合成関数の極 (5x-3)-2|=5|x-1|により, | x-1 <8ならば5|x-1|<5δ であることを利用すれば、 い。 (2)証明すべきことは、 「任意の正の実数に対して、 ある正の実数δが存在して 0<x+1|<8 であるすべてのxについて | (x2+1)-2|<e が成り立つ。」 である。 |(x+1)-2|=|(x+1)(x-1)|=|x+1||x-1|である。 x-1 であるから,xが-1に い状況のみを考えればよく、例えばx+1|<1 すなわち-2<x<0であればx-1|<37 ある。 299- 指針定理 関数の極限の性質 関数f(x), g(x) お したがってδを1より小さくとるとき,x+1| <δであれば | x+1| <1であり、このとき |x2+1-2|=|x+1||x-1|<3|x+1| <38 となる。 これを利用すればよい。 [CH|A|R|T-8 論法が先,8が後 解答 (1) 任意の正の実数e に対して, 8= m とする。 d= 5 このとき,0<|x-1|<8=1であるすべてのxに対して 与式のxに1を代入す れば極限値が2である ことはすぐにわかる。 |(5x-3)-2|=5|x-1|<58=e よって lim (5x-3)=2 (2) 任意の正の実数』に対して,=min {1, 2} とする。 このとき, 0<|x+1|<8であるすべてのxについて、 |x+1|<1であるから x→1 |x-1|=|(x+1)-2|≦|x+1|+2<1+2=3 また,x+1|< であるから |(x2+1)-2|=|x+1||x-1|<13×3=e よって lim (x2+1)=2 X-1 指針にある通り後の 計算を見越して,ô= としている。 < (1) と同様に,等式の極 限値が2であることは すぐにわかる。 三角不等式。 [1] lim {kf(x)+ x-a [2] limf(x)g(2 xa 定理 合成関数の極 関数f(x), g(x) このとき,合成関委 E-δ論法による証 対応する の値を (1) f(x) g(x) の極限 る。 関数の値 える。 (2) 合成関数 f(a) に近づ 解答 (1) 性質 [2] を任意の limf(x)= x-a 0<\x-a 成り立つ ここで, c0 から limf( x-a 48は1との大きく ない方をとればよい。 更に、指針にある通り、 後の計算を見越して 8=1としている。 0<\x が成 lim x-a

解答の 増加するから、以降の解説が全く分かりません。 どなたか解説お願いします。

2 (an) in 211/2/11 基本 例題 029 関数の極限 -δ論法の基本 (am) = f(s) th ★★ The を払えよ! 関数f(x) =x2+1は, x→1で2に収束する。 E0.05 0.005 のとき |x-1|<8 ならf(x)-2|<g を満たすような正の実数の値をそれぞれ1つ定め よ。また、一般ののときはどうすればよいか。 指針 e-δ論法(基本例題 030 の指針参照) の言葉で ya x→1のときf(x) 2になる事実 . 6 2<y<2+s をとっても、それに対応してx=1を中心とす る範囲 0<x-1|<8 を十分小さくとれば、この範囲のすべて のxに対して y=f(x) の値が2-s<y<2+e の範囲に含まれ る」 ということである。 を説明すると 「y=2 を中心とするどんなに小さい範囲(1+8) S 2+cl 2 f(1-0) 2- 1 この収束を示すには、y軸の区間 2-e<y <2+e が任意に与 えられたとき, x軸の区間 0<|x-1| <δをみつけることにな る。 01 - 8 11+8 f(1+δ)-2>2-f(1-δ) であるから,まずはs=0.05,0.005 の場合に具体的に計算をしてか ら 「f(1+8) <2+s ならばf (18) >2-c となること」 を示す。 これにより,f(1+8)=2+s という式から上限となるδを決定できる。 または「任意の正の数」であるから,<e の場合だけでなく, >1の場合も別に考える。 E-δ論法の詳しい説明は本書の53ページまたは「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分 の61,62ページを参照。 解答 f(x) は x>0 の範囲で単調に増加するから、ff(1-6)>2-6 かつ f(1+δ) <2+ となる正の数δを1つ定めれば, 1-8 <x<1+8となるすべてのxに対して2-s<f(x) <2+s が成り立つ。 [1]=0.05 のとき (0.95)=1.95, (105) 2.05 であるから, 1-δ<x<1+δとなるすべてのxに対して 2<f(x) <2+が成り立つための条件は 180.95 かつ 1+1.05 である。 例えば,8=0.01 とすると (18)=0.992=0.9801 0.95 より (1+δ)²=1.012=1.02011.05 より 1-8≥√0.95 1+8√1.05 E-δ論法の基本 を満たしている。

答えを見ても理解できないです… 数学3点の私でも理解できるように、解説お願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

(2) lim x x-0 sin 2x

【微分積分学基礎】 赤の〰️はなんの事ですか？急に出てきて分かりません💦

① 次の関数の極限を求めよ、 lim xyz (1)(x)→(10) X2+y2. x=0、y=0、Y=Xに沿った極限を考えると、 いずれも極限値は0である。従って、もし極限が 存在するならそれは0でなければならない。 xyz xy² 5 ₁ - 0 | - | 22 Y = | ≤ ² x² + y² ((x,y) → (0.01) ここで、極座標変換(x,y)=(rcosersing)を xy2 用いた。以上より lim (2)( 極限値は0である。 lim (XY) (0.0) (x,y) = (0-0) X²³² + y² 考えると f(xy) = sinay lim (x,y)=(0.0) X=0 sinxy x² + y² auty とおく. sinxy x2+y2 O y² recosasiner 二〇が成立するので x=0に沿った極限を また、x=りに沿った極限を考えると blim -Sinxy (my)=0.0) x2+y2 X = Y = @_sing - DỊsing 2 2x² X² = 77. 2 したがって2つの直線に沿った極限が異なるので (x)→(0.0)のときの関数f(xy)の 極限はなし、 これは何ですか?

次の関数の極限を求めよ。といった問題です。 わからなくて困っているので教えていただけると助かります💦

(1) xy² lim (x,y) →(0,0) x² + y² -25 25 (2) sin xy lim (x,y) →(0,0) x² + y² 0.5 0.25 -0.25 -0.5

ε-δ論法による証明がわかりません。 (1)の波線部の不等式がどこから出てくるのか教えていただきたいです。 ε/2Mというのはどこから出てきたんですか？

基本例題031-8 論法による基本定理の証明 下の指針の定理について, 以下の問いに答えよ。 (1) 下の, 関数の極限の性質の [2], および [3] を,e-8 論法を用いて証明せよ。 (2) 下,合成関数の極限をe-8 論法を用いて証明せよ。 指針定理関数の極限の性質(スロー(x)=(x)ノー 関数 f(x), g(x) および実数 α について, limf(x)=a, limg(x) =β とする。 [1] lim{kf(x) +1g(x)}=ka+1β (k, lは定数) x→a x→a [2] limf(x)g(x)=aB [the lim (1/(x) 定理 合成関数の極限 4179744571 x→a x→b YOU 関数 f(x), g(x) について, limf(x)=b, limg(x)=αとし, g(x)はx=6で連続とする。 このとき,合成関数 (gf) (x) について, lim (gf) (x)=α が成り立つ。会場 x→a x→a x→a x→a xx→a [3] lim x→a f(x) a g(x) B E-8 論法による証明であるから、 「 e を任意の正の実数とする」から始める。そして,これに 対応するの値を検討する。 次のような方針で証明を進める。 f(x) (1) 1 1 の極限を求める問題は、f(x) x- g(x) として g(x) g(x) る。 関数の値と極限値との差の絶対値を評価し,途中でどのような仮定が必要になるかを考 05.10 える｡ So I had lot (2) 合成関数g (f(x)) の値を g (f(a)) に近づけるには,gの中にある f(x) をどの範囲で x→a == (ただし,β≠0) eを任意の正の実数とする。 limf(x) =α であるから, ある正の実数品。 が存在して, ()+6011-5 0<|x-a|<品。 であるすべてのxについて|f(x)-α|<s が f(a) に近づければよいかを考え,それに応じてxをどの範囲でαに近づけるか考える。 1o C (+18 解答 (1) 性質 [2] の証明 成り立つ。このとき,α-e<f(x)<α+ であるから |f(x)|≦max{|a-el, |a+c|} S3A/ ここで,M=max{|α-el, |α+el, |β|} とおく。 e≠0 より |a-el, late | の少なくとも一方は0でない から M>0 limf(x) =α であるから,ある正の実数 Ô が存在して E 0<|x-a|<ふであるすべてのxについて|f(x)-al< AMICIAS が成り立つ。 limg(x) =βであるから、 ある正の実数 82 が存在して 1 B を示す問題に帰着させ e-8 論法による証明の 開始。 Jel 4

関数の極限を求める問題です (1)のlim(x-π) (π-x)/sin2xにおいて π-x=t ではなく、x-π=tと置く理由を教えてください🙏🙏

る。 s²x = sin²x 冊子分母に 1+cosx) をかけた 11 = 1/2 となるね。 0 im (1+x)³ = e つとすると、これ 次の関数の極限を求めてみよう。 (1) lim X-T T-X sin 2x 1–cosx x0x log(1+x) (3) lim- T-X .. lim *→ Sin2x (2) lim tan(sinx) x0 X (2) lim (1) x-m=t とおくと,x →』のときt → 0° また, π-x=(x-л)=-t sin 2x=sin 2(л+t)=sin (2л+2t)=sin 2t -t -=lim t-0 sin2t --/xl-1/ =lim x 0 (0-0) = 1×1=1 tan(sinx) X (4) lim (1+2x)* x→0 =lim t → 0 (0→0) (-1 2 2 tan(sinx) sinx 0 2t sin 2t sin x X i= tfk 72-1= € 2-C = 1 2(2-2) Alim sin 0 0-0 0 0 lim 8-0 sine (*) 数列と関数の極限 At:lim 2x-221 (†) 1 =lim 80 sin 0 -1-1 =1より, sin x X-0 X tan 8 を使った! lim 8-0 0 1 = 1 -=1