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基本 例題 156 三角形の辺と角の大小
0000
△ABCにおいて, sin A: sin B:sinC=√7: 3:1が成り立つとき
(1) △ABCの内角のうち、最も大きい角の大きさを求めよ。
(2)△ABCの内角のうち、2番目に大きい角の正接を求めよ。
|指針
p.256 基本事項
(1) 正弦定理より,a: b:c=sinA:sin B: sin C が成り立つ。
これと与えられた等式から最大辺がどれかわかる。
三角形の辺と角の大小関係より,最大辺の対角が最大角
であるから 3辺の比に注目し, 余弦定理を利用。
a<b⇔ A<B a=b⇔ A=B a>b⇔A>B
AB
((1)
B
(三角形の2辺の大小関係は, その対角の大小関係に一致する。)
(2)まず,2番目に大きい角の Cos を求め, 関係式 1+tan'0=
Cos²
1
を利用。
きから、
a
b
C
(1) 正弦定理
により
sin A sin B sin C
a
sin A sin B
b
=
から
解答
a:b: c=sinA sin B: sin C
これと与えられた等式から a:b:c=√7:√3:1
よって、ある正の数を用いて
.... (*) 01+1=a: b=sin A: sinB
から
b
C
sin B
sin C
a=√7k,b=√3k,c=k "SI-"21+81
と表される。ゆえに, α が最大の辺であるから, A が最
大の角である。
00008-as-A
(√3k2k2-√7k)2-3k2
COS A=-
2.√3k-k
よって, 最大の角の大きさは
SES
01=0A
√3
2√3k2
2
A=150°
150x
x-21-S
b:c=sinB: sin C
合わせると(*) となる。
を正の数として
k
b
デー
=
-=k
1
=
とおくとA
a=√7k,b=√3k,
c=k
a > b>cからA>B>C
よって, A が最大の角で
ある。
(2)(1) から, 2番目に大きい角はBである。
k2+√7k2-(√3k)2 5k2
2.k.√7k
1(+$x)
A
k
√3k
=
2√7 k² 2√√7
=
0
C
B
✓TR
三角比の相互関係。
601
301
p.245 例題 143 参照。)
X-
A
余弦定理により
cos B=
等式1+tan2B=-
cos2 B
tan2B=
1
cos2 B
28
-1
5
25
A > 90° より B<90° であるから
tan B>0
3 √3
したがって tan B=
25
5
求める
(2/7) -1- 201- 02/25
(1)の結果を利用。
△ABC は鈍角三角形。
