なお, 三角形の問題では, (内角の和)=Dπ の条件が大きな意味をもつ。 まず, これを書き
が半径1の円に内接し, ZA=エであるとき, a+b+cの最大値を求めよ。
重要 例題161
図形への応用(1)
重.
AABC
点P
2象
る。
が半径1の円に内接し, ZA=号であるとき, a+b+cの最大値を求めょ
基本 152
き,
a+b+cを
角で表し,角に関する最大値の問題に帰着させる。
→AABC は半径1の円に内接しているから, 正弦定理が利用できる。
指針
出して,扱う角を減らしていくとよい。
解答
A
ZA=A, ZB=B, ZC=Cとする。
から
C=エー(A+B)=ェーB
0<B<-ェ
A+B+C=π と A=
0
2
-πーB
ACが消去できた形になる。
よって,以後はBのみを
2
また
B
考えればよい。
3
△ABCの外接円の半径は1であるか
ら,正弦定理により
6
C
-=2·1
sinC
a
辺
sin角
=2×(外接円の半径)
正弦定理
三
sin A
sin B
ゆえに
a=2sinA, b=2sinB, c=2sinC
a+b+c=2(sinA+sinB+sinC)
よって
-2sin号 GォーB}
+2singco(B-号)
+sinB+sin(
3
(和→積の公式を利用する。
=2{
3
3
=\3+2/3cos(B-
(*) B=号
のとき、
COS
3
0<B<そxの範囲において, cos(B-はB=
C=(=A)となるから、
2
のとき
3
a+b+cが最大となるのは、
AABC が正三角形のときで
最大となり,求める最大値は
V3+2/3-1=3/3
ある。
るすき
O
