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基本例題 2083次関数の極大値
aは定数とする。 f(x)=x^3+ax²+ax+1がx=α, B(α<B) で極値をとると
[類上智大
f(a)+f(B) = 2 ならばαである。
指針 3次関数f(x) が x = α, βで極値をとるから, α, βは2次方程式(x)=0 のであ
このようなときは、 2次方程式の 解と係数の関係 を利用するのがセオリー。
しかし、 f'(x)=0 の解を求め, それをf(α)+f(B)=2に代入すると計算が面倒になる
f(a)+f(B)はα, β の対称式になるから,次の CHART に従って処理する
α,β の対称式 基本対称式α+β,αβ で表される
解答
f(x)=3x²+2x+α
f(x)はx=α, Bで極値をとるから, f'(x)=0 すなわち
3x²+2ax+a=0
① は異なる2つの実数解 α, βをもつ。
D>0
よって、 ①の判別式をDとすると
D=α²-3.a=a(a−3) であるから
したがって a<0, 3<a
②
① また, ① で, 解と係数の関係より α+β=-
ここで
a(a-3)>0
(f(α)+f(B)=(3+3)+a(d²+B2)+α(a+β)+2
=7²-²2²+2=>
f(a)+f(8)=2から12/2701/23a²+2=2
よって
2a³-9a²=0
② を満たすものは
a=
2
3 -a, aß=
B=1/31
=(a+B)³-3aß(a+B) +a{(a+B)²-2aß}+a(a+B) +2
9
2
=(-¾a)²-3·¼a·•(-za)+a{(-−¾—za)²−2·¼—_a}+a⋅(− 3a)+2
tab5 a²(2a-9)=0
a
まず、f(x) が極値をもっ
うなaの値の範囲を
おく(前ページの例題
(2) と同様)。
f(a)+f(B)=2は、
f(x) の極値の和が2で
るということ。
検討 3次関数のグラフの対称性を利用する
3次関数y=f(x) のグラフにおいて, 極値をとる2点 (a, f(a)),
(B, f(B) を結ぶ線分の中点の座標は, (a+2,
a+ß f(a)+f(B))であり、
a+b=-2/3aとf(a)+f(B)=2 から (1/31)
Ralf
