OOOO0
基本例題 42 背理法による証明
a, bは有理数で, bキ0 とする。 12 が無理数であることを用いて
a+b,2 が無理数であることを証明せよ。
2) v6 が無理数であることを用いて, V2+V3 が無理数であることを
明せよ。
74
ト基本 43,44
D.70 基本事項7
SOLUTION
CHART
証明の問題
与えられた仮定から直接結論へ導くことが困難なときは, 背理法が有効。
背理法で証明する手順
1 仮定はそのままにして (1)では, 「V2 が無理数である」)
結論を否定する(1) では, 「a+b/2 は無理数でない」 とする)。
図 計算や推論により, 矛盾を導く。
(1) /2 が有理数の和·差 積 商の形で表されてしまうという矛盾を導く。
なお、実数は有理数と無理数に分けられるから無理数であることを否定すると右
理数になる。
直接がだめなら間接で 背理法
解答
さ
『(1) a+b,2 が無理数でないと仮定すると, a+b/2 は有理
数である。a+b/2 =c(cは有理数)とおくと, bキ0 から
inf. 有理数の和 差·
積·商は常に有理数(か.3%
無理数の和·差 積 敵
無理数とは限らない。
例えば,
(2=2
_C-a
b
I a, b, c は有理数であるから,
C-a
b
も有理数となり,/2 が(1+/2)+(1-/2)=2
無理数であることに矛盾する。
ゆえに,a+b/2 は無理数である。
『(2)(2+/3 が無理数でないと仮定すると, 2 +V3 は有
理数である。2+3=a(aは有理数)とおいて, 両辺を
2乗すると 5+2,6=α°
3/2-/2 =3
など。
変形して6=-5
2
aは有理数であるから、-5
も有理数となり,6 が無理
2
数であることに矛盾する。
ゆえに,(2 +/3 は無理数である。
PRACTICE …42°、2+13 が無理数であることを証明せよ。 ただし, V2,
ともに無理数であることは知られているものとする。
