-
![]()
-
![]()
DO
基本 例題23 共線条件,点の一致
417
a) 平行四辺形 ABCD において,辺 CD を2:3に内分する点を E, 対角線DD
を5:3に内分する点をFとする。3点A.F. Eは一直線上にあることを証明
市大)
せよ。
(2) AABC の辺 BC, CA, AB をそれぞれ m: n (m>0, n>0) に内分する点
をP, Q, R とするとき,△ABC と APQR の重心は一致することを示せ。
8
(類大阪工大)
式に
p.414 基本事項4
指針>(1) 3点A, F, Eが一直線上にある→ AF=kAE となる実数kがある
まず,AB=6, AD=ā として,AE, AF をそれぞれる, àで表してみる。
(2) 2点G, Hが一致→2点G, H の位置ベクトルが等しい
すなわち,△ABC, APQR の重心の位置ベクトルをそれぞれ点 A, B, C の位立置ベクト
ルで表し,それらが等しいことを示す。
解答
(1) AB=6, AD=ā とすると
AE=AD+DE
A
D
表記を簡単に。
す
F
3
3
点の
AC
3万+5d
-6=
5
=d+
E
「2
5
5
参考 図形の問題にベクトル
を用いて考える場合,「(1) 頂
点の1つを始点として考え
る」,「(2) 各頂点に与える」の
2通りがある。
B
C
3AB+5AD_3万+5d
5+3
思い
AF=
8
5
よって
AF=
AE
8
ゆえに,3点A, F, Eは一直線上にある。
(2) A(), B(), c(ē), P(), Q(G), R(F) とし,AABC, APQR の重心をそれぞれ
a+6+
Aa)
g=
3
GG), H(万)とすると
nō+m
n
m
Q(g)
na+mō
R(7)
nc+ma
カ=
9
m+n
G
H
m+n
また
m+n
万ージ+q+ー(十
1/nt+mc , nc+ma
m+n
na+mō
B(6)
m
m+n
P(p)
ゆえに
3
m+n
1(m+n)(ā+5+)_ā+6+ě
m+n
3
三
3
0, 2から
よって,点Gと点Hは一致するから, △ABC と APQR の重心は一致する。
=i
す
(1) AABC で、辺BC, CA を2:1に内分する点を順に D, Eとし,線分 ADを
23
3:4に内分する点をFとするとき, Fは直線 BE上にあることを示せ。
(2) 四角形 ABCD の辺 AB, BC, CD, DA の中点を,それぞれK, L, M. N と
対角線AC. BD の中点を,それぞれ S, Tとする。3つの線分 KM, LN.
練習
章 4位置べクトル、ベクトルと図形
